（讲义）第6章 6.3 6.3.3 空间角的计算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.3.3　空间角的计算 1．会用向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角．(重点、难点) 2．正确区分向量夹角与所求线线角、二面角的关系．(易错点) 通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 1970年4月25日18时，新华社授权向全世界宣布：1970年4月24日，中国成功地发射了第一颗人造卫星，卫星运行轨道的近地点高度为439千米，远地点高度为2 384千米，轨道平面与地球赤道平面所成的锐二面角为68.5度，绕地球一圈114分钟．卫星重173千克，用20.009兆赫的频率播放“东方红”乐曲． 问题：上述的68.5度是如何计算出来的呢？ 知识点　空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 平面α与平面β的二面角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等． (　　) (2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．　 (　　) (3)平面α和β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．　 (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30°　 B．60°　 C．150°　 D．120° B　[设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，又0°≤θ≤90°，∴θ＝60°，故选B．] 3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的锐二面角θ的大小为________． 45°　[cos θ＝＝＝， 由于θ∈， ∴θ＝45°．] 类型1　利用空间向量求直线与直线所成的角 【例1】　在三棱锥P­ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P­BC­A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A　[法一：如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P­BC­A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示． 设AB＝2，则A(，0,0)，C(0，－1,0)，B(0,1,0)， P， 所以＝(－，－1,0)，＝， cos〈，〉＝＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为． 法二：如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA， 因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P­BC­A的平面角．设AB＝2，则＝－，＝－， 故·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝－1－0－0＋××＝－，所以cos〈，〉＝＝－． 即异面直线PB与AC所成角的余弦值为． 法三：取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P­BC­A的平面角，即∠POA＝120°．过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角．设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝a， 所以cos∠PBD＝＝，即异面直线PB与AC所成角的余弦值为．] 1利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量u，v；③代入公式cos θ＝求解. 2两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 1．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，D是A1C1的中点，则异面直线A1B与AD所成的角的余弦值为________． 　[如图，作AB中点O，A1B1中点E，连接OE、OC， 因为O是AB中点，E是A1B1中点，三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱， 所以易知OE⊥底面ABC，三角形ABC是等边三角形，OC⊥AB， 则OE、OB、OC两两垂直， 以OB为x轴、OC为y轴、OE为z轴正半轴构建空间直角坐标系， 令AB＝AA1