（讲义）第6章 6.3 6.3.2 第2课时 空间向量与垂直关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

第2课时　空间向量与垂直关系 类型1　利用空间向量证明线线垂直 【例1】　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1． [证明]　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0，1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，E． 设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E，B1(1,1,1)． (1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴⊥，即BD1⊥AC． (2)∵＝(－1，－1,1)，＝， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥，即BD1⊥EB1． 利用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法如下： (1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可． (2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0． 1．在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E． [证明]　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x，则E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． ∴·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴⊥，即A1F⊥C1E． 类型2　用空间向量证明线面垂直 [探究问题] 1．利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？ [提示]　利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平面的法向量共线． 2．证明线面垂直，能否不求平面的法向量？ [提示]　可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个不共线的向量的数量积为零即可． 【例2】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F． 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F的法向量，然后证明与法向量共线. [证明]　如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，∴＝，＝(－1,0,0)，＝． 设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 解得 令z＝1，得y＝2，则n＝(0,2,1)． 又＝， ∴n＝2．∴n∥，即AE⊥平面A1D1F． [母题探究] 1．把本例“正方体”改为“长方体”，其中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，如图，求证：直线PB1⊥平面PAC． [证明]　依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D­xyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1，1,2)， 于是＝(－1,1,0)，＝(－1，0,1)，＝(1,1,1)， ∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， ·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0， 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC． 故直线PB1⊥平面PAC． 2．在本例中，把F改为“是B1D1的中点”，其他条件不变，求证：EF⊥平面B1AC． [证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1， 则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)， E，F． ∴＝(－1,1,0)，＝(0,1,1)， ＝． 由·＝－＝0， ·＝－＋＝0，得 ⊥，⊥， 也就是EF⊥AC，EF⊥AB1， 又因AC，AB1⊂平面AB1C，且AC∩AB1＝A， 故EF⊥平面AB1C． 1．坐标法证明线面垂直的两种方法 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0． 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决． 类型3　利用空间向量证明面面垂直 【例3】　如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC