（讲义）第6章 6.3 6.3.2 第1课时 空间向量与平行关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.3.2　空间线面关系的判定 第1课时　空间向量与平行关系 1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．(重点) 2．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点) 3．能用向量方法判断一些简单的空间线面平行、垂直关系．(重点、难点) 1．通过利用空间向量判定线、面的平行、垂直关系，培养直观想象的核心素养． 2．借助利用空间向量解决平行、垂直问题的学习，提升数学运算及逻辑推理的核心素养． 因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．我们下面分两个课时，用空间向量分别研究线、面的平行、垂直问题． 知识点　空间中平行、垂直关系的向量表示 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表： 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α． (　　) (2)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β． (　　) (3)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　 (3)√ 2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 B　[因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B．] 3．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________． l⊂α或l∥α　[∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α．] 类型1　利用空间向量证明线线平行 【例1】　(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， B．， C．－3,2 D．2,2 (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS． (1)A　[若a∥b，则2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故选A．] (2)[证明]　法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz． 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， ＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)， ∴＝， ∴∥，即PQ∥RS． 法二：＝＋＝－＋，＝＋＝＋－， ∴＝， ∴∥，即RS∥PQ． 证明两直线平行的方法 方法一：平行直线的传递性． 方法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn． 方法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2． 1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． [证明]　以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F， ∴＝，＝，＝，＝， ∴＝，＝且∥，∥， 又∵FAE，FEC1， ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形． 类型2　利用空间向量证线面、面面平行 [探究问题] 1．在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ [提示]　可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标． 2．依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？ [提示]　不唯一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可． 3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ [提示]　根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了． 【例2】　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． [证明]　法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x