（讲义）第6章 6.3 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 1．理解直线的方向向量与平面的法向量的意义．(重点、难点) 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 1．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养直观想象和数学抽象的核心素养． 2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养数学运算的核心素养． (1)如何确定一个点在空间的位置？ (2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？ (3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ (4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ 知识点1　直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量． 1．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2．] 2．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(－1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) A　[∵A，B在直线l上，∴＝(1,1,3)，与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量．] 知识点2　平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面的法向量可以确定该平面的位置． (　　) (2)平面的法向量不唯一，它们都是共线向量． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 4．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) A．(0,1,2) B．(3,6,9) C．(－1，－2,3) D．(3,6,8) B　[向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．] 类型1　直线的方向向量及其应用 【例1】　(1)设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________． (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD与AD1所成的角θ等于________． (1)2　(2)　[(1)由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0， 所以m＝2． (2)如图，以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D­xyz， 设正方体的棱长为a，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，A(a，0,0)，D1(0,0，a)， 所以直线BD的方向向量为＝(－a，－a,0)，直线AD1的方向向量为＝(－a,0，a)， 所以BD与AD1所成的角θ的余弦值满足 cos θ＝|cos〈，〉|＝＝， 因为θ∈，所以θ＝．] 求直线的方向向量的方法 (1)找两点：直接在直线上找两点，构成方向向量． (2)找直线：根据已知图形中线与线的位置关系找到与已知直线平行的直线，在平行线上取两点构成方向向量． 1．若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________． 垂直　[因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2．] 类型2　求平面的法向量 [探究问题] 1．一个平面的法向量与平面内的向量有什么关系？ [提示]　垂直． 2．方程组的解唯一吗？如何解该方程组？ [提示]　该方程组的解不唯一，有无数多个，可令z＝1，然后解方程组，可得x＝，y＝－． 【例2】　如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SDC与平面SAB的一个法向量． [解]　如图，以A为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)， 则＝，＝． 易知向量＝是平面SAB的一个法向量． 设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量， 则 即 取x＝2，则y＝－1，z＝1， ∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)． 求平面法向量的步骤 (1)设法向量n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面