（讲义）第6章 6.3 6.3.4 空间距离的计算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.3.4　空间距离的计算 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点) 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(重点、难点) 1．通过对点到直线、平面距离的推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过学习空间中点、线、面距离的相互转化与计算，培养数学抽象、直观想象素养和数学运算素养． 哥特式建筑是一种兴盛于中世纪高峰与末期的建筑风格．它由罗曼式建筑发展而来，为文艺复兴建筑所继承．发源于十二世纪的法国，持续至十六世纪．哥特式建筑的特色包括尖形拱门、肋状拱顶与飞拱． 问题：在上述图片中，如何利用空间向量计算塔尖到房顶的斜面的距离呢？ 知识点　空间的距离公式 1．平面外一点P到平面α的距离 P是平面α外一点，A是平面α内任意一点，n是平面α的法向量，则点P到α的距离d＝． 2．直线外一点P到直线l的距离 (1)n是与直线l垂直的向量，A是直线l上任意一点，那么直线l外一点P到直线l的距离d＝． (2)A是直线l上任意一点，P是直线l外一点，e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则点P到直线l的距离d＝||sin φ． 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． D　[由条件可得P(－2,1,4)到α的距离为＝＝．] 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A． B． C． D． B　[建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)． ∴cos θ＝＝＝． ∴sin θ＝＝． 故点A到直线BE的距离d＝||sin θ＝2×＝．] 类型1　点到平面的距离 【例1】　在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2． (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． [解]　(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴、y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系D­xyz，则D(0，0,0)，C(1,0,0)，B1(－1,0,2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)． 设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即∴ 令z＝1，则y＝0，x＝2， ∴n＝(2,0,1)． ∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0， ∴⊥n． ∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D． (2)由(1)知平面AB1D的一个法向量为n＝(2,0,1)，且＝(－1，，－2)， ∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝． 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． 1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离． [解]　建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A1(4,0,3)，B1(4,6,3)，B(4,6,0)，C1(0,6,3)，＝(－4,6,0)，＝(0,6，－3)，＝(0,6,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 取x＝1，解得n＝． ∴点B1到平面A1BC1的距离d＝＝． 类型2　点到直线的距离 [探究问题] 1．点P到直线l的距离是直线上的点到点P的最短距离吗？ [提示]　是． 2．求点P到直线l的距离有哪些方法？ [提示]　(1)利用与直线l的方向向量垂直的向量n，点P到直线l的距离为d＝． (2)利用直线l的方向向量e，记φ＝〈，e〉，点P到直线l的距离d＝||sin φ． 【例2】　已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [解]　法一：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)， ∴＝(－4,3,0), ＝(4,0,1)． 设E满足＝λ，且BE⊥A1C1， 则＝＋＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)， 又⊥， ∴(4－4λ，3λ，1)·(－4,3,0)＝0，∴λ＝． ∴＝， ∴||＝＝， 故点B到直线A1C1的距离为d＝＝． 法二：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以＝(－4,3,0), ＝(4,0,1)，