（讲义）第6章 6.2 6.2.2 第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.2.2　空间向量的坐标表示 第1课时　空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示 1．掌握空间向量的坐标表示．(重点、难点) 2．掌握空间向量线性运算的坐标表示．(重点) 3．掌握共线向量的坐标表示．(重点) 1．通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升直观想象的核心素养． 2．通过空间向量的坐标表示与运算，培养直观想象和数学运算的核心素养． (1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？ (2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？ (3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？ 知识点1　空间向量的坐标表示 1．空间直角坐标系的相关概念 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴： x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系O­xyz 坐标原点 点O 坐标平面 xOy平面、yOz平面和xOz平面 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2．向量a的坐标 在空间直角坐标系O­xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，有序实数组(a1，a2，a3)叫作向量a在空间直角坐标系O­xyz中的坐标，记作a＝(a1，a2，a3)． 3．点P的坐标 在空间直角坐标系O­xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量．于是存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝xi＋yj＋zk，因此向量＝(x，y，z)，此时我们把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点P的坐标，记作P(x，y，z)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0． (　　) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0．　 (　　) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．　 (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知i，j，k是空间直角坐标系O­xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 D　[向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．] 知识点2　空间向量的坐标运算 1．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R 2．空间向量平行的坐标表示 a∥b(a≠0)⇔_x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 (λ∈R)． 3．空间中有向线段的坐标表示 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， (1)坐标表示：＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)语言叙述：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同． (　　) (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，若a∥b，则＝＝． (　　) (3)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 4．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) D　[∵4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)， ∴4a＋2b＝(8,0,4)．] 类型1　空间向量的坐标表示 【例1】　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． 试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 建立恰当的空间直角坐标系后，根据相关线段的长度确定点的坐标，然后求向量的坐标. [解]　法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． ∴＝－＝＋－＝－＋， ∴的坐标为(1，－1,1)， 而＝＋＝－＋， ∴的坐标为(1，－1,2)． 又∵＝－， ∴的坐标为(－1,1，－2)． 法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0