（讲义）第6章 6.2 6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

第2课时　空间向量数量积的坐标表示 1．掌握空间向量数量积的坐标表示，并会判断两个向量是否垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 1．通过空间向量的数量积的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助利用空间向量的坐标运算解决垂直问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养． 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)a·b＝a1b1＋a2b2； (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0； (3)|a|＝，＝(x2－x1，y2－y1)； (4)cos〈a，b〉＝． 问题：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？ 知识点　空间向量的数量积、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 a·b ＝x1x2＋y1y2＋z1z2 a⊥b a·b＝0 a·b ＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a|＝ |a|＝ 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，两点的距离 AB＝ 夹角余弦 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 1．若向量a＝(4,2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)等于(　　) A．－212 B．－106 C．106 D．212 A　[ (2a－3b)·(a＋2b)＝(－10,13，－14)·(16，－4,0)＝－10×16＋13×(－4)＝－212．] 2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B． C． D． D　[由a，b的坐标可得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，两向量互相垂直则a·b＝0，即3×(k－1)＋2×k－2×2＝0，解得k＝．] 3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝________，||＝________． (1，－1，－1)　　[＝(1，－1，－1)，||＝＝．] 类型1　空间向量的坐标运算 【例1】　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________． (2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． (1)2　[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， 由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．] (2)[解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8． 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等． (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． 1．若a＝(2,3，－1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为________． 5　[因为b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则b＋c＝(2,2,5)， 又因为a＝(2,3，－1)， 所以a·(b＋c)＝2×2＋3×2＋(－1)×5＝5．] 2．设向量a＝(2,2m－3，n＋2)，b＝(4,2m＋1,3n－2)，且a∥b，则a·b的值为________． 168　[由题意，a∥b，设a＝λb， 又a＝(2,2m－3，n＋2)，b＝(4,2m＋1,3n－2)， 所以(2,2m－3，n＋2)＝λ(4,2m＋1,3n－2)， 即， 解得，则a＝(2,4,8)，b