（讲义）第6章 6.1 6.1.2 空间向量的数量积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.1.2　空间向量的数量积 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．掌握投影向量的概念．(重点) 4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点) 1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算的核心素养． 2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象和逻辑推理的核心素养． 3．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与 b的夹角． 如果a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b． 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把a·b＝|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)． 类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？ 知识点1　空间向量的夹角和数量积 1．夹角的定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ (0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉． 2．向量夹角的特殊情况 如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b同向； 如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b反向； 如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，并记作a⊥b． 3．空间向量数量积的定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 4．空间向量数量积的常用结论(a，b为非零向量) (1)cos〈a，b〉＝； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)|a|2＝a·a＝a2． 5．空间向量的数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等． (　　) (2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)． (　　) (3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． (　　) (4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1． 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3－2＝1．] 知识点2　投影向量 1．向量a在向量b上的投影向量 (1)定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1．上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 2．向量m在平面α上的投影向量 (1)定义：设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量．我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量． (2)空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积． 3．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，向量在向量上的投影向量是_________；向量在平面A1B1C1D1上的投影向量是_______． 　　[如题图所示，向量在向量上的投影向量是向量；向量在平面A1B1C1D1上的投影向量是．] 类型1　空间向量数量积的运算 【例1】　(1)在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·＝(　　) A．0 B．－2 C．2 D．－3 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，确定向量在平面OAB上的投影向量，并计算·(＋＋)的值． (1)B　[如图所示，棱长为2的正四面体ABCD中，因为E，F分别是BC，AD的中点，所以·＝(＋)·(＋)＝(·＋·＋·＋·) ＝(2×2×cos 120°＋2×2×cos 90°＋2×2×cos 180°＋2×2×cos 120°)＝－2，故选B．] (2)[解]　由题图可知向量在平面OAB上的投影向量是向量． ＝＋＝＋(＋) ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋， ∴·(＋＋)＝·(＋＋) ＝2＋2＋2 ＝×22＋×32＋×12＝． 1．用已知向量表示其他向量的步骤与关键点 (1)步骤：①先观察各个向量在图形中的位置；②寻找相