（讲义）第6章 6.1 6.1.1 空间向量的线性运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.1　空间向量及其运算 6.1.1　空间向量的线性运算 1．理解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握共线向量定理的应用．(重点、难点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象核心素养． 2．借助向量的线性运算、共线向量的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养． 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1　　　　图2 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 知识点1　空间向量的概念、线性运算及其运算律 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)表示方法：空间向量用有向线段表示． (3)两种常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 2．空间向量的线性运算 与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： ＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b； 若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)． 1．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________． 0　[延长DE交边BC于点F，连接AF，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0．] 3．空间向量的加法和数乘运算满足的运算律 (1)a＋b＝b＋a； (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)． 知识点2　共线向量(或平行向量) 1．定义 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　) (2)相等向量一定是共线向量． (　　) (3)零向量没有方向． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，＝λ，则λ＝________． －　[因为C在线段AB上，所以与方向相反，又因|AB|＝5，|BC|＝3， 故λ＝－．] 类型1　空间向量的有关概念 【例1】　(1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝． 其中正确命题的序号是________． (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) (1)②③　(2)，，　，，，　[(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错误； 对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确． (2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，．与向量相反的向量有，，，．] 空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1． ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0 B．1 C．2 D．3 B　[根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B．] 类型2　空间向量的线性运算 【例2】　(1)(多选题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋ C．(＋)＋ D．(＋)＋ (2)已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求