（讲义）第6章 6.1 6.1.3 共面向量定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.1.3　共面向量定理 1．理解共面向量的概念和共面向量定理．(重点) 2．会应用共面向量定理证明线面平行．(重点、难点) 1．通过对共面向量的概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助应用共面向量定理证明线面平行的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养． 如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，很显然直线B1D1与直线BA，BC都是异面直线，即不共面，但是我们知道向量是可以自由平移的，那么向量与向量，在同一个平面内吗？ 知识点　共面向量与共面向量定理 1．共面向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量．显然，任意两个空间向量都是共面向量． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb．这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示． 3．共面向量定理的推论 已知，，不共面，若＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面． 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．等长的向量 C．共面向量 D．不共面向量 C　[如图所示，向量，，显然不是有相同起点的向量，A不正确； 由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B不正确． 又因为－＝＝，所以，，共面，C正确，D不正确．] 2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有＝x－＋，则x的值是(　　) A．1 B．0 C．3 D． D　[因为＝x－＋，且M，A，B，C四点共面，所以必有x＋－＝1，解得x＝，故选D．] 类型1　证明三个向量共面 【例1】　如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)，判断向量是否与向量，共面． [解]　∵＝＋＝＋k(－) ＝(1－k)＋k， ＝k＝k(＋)， ∴＝－＝(1－k)－k， ∴由共面向量定理知向量与向量，共面． 证明三个向量共面只需要利用共面向量定理证明，即向量p可以由两个不共线向量a，b线性表示，在应用定理时注意“两个向量a，b不共线”的要求. 1．若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由． [解]　设c＝λ1a＋λ2b， 则 即c＝a－b．∴a，b，c共面． 类型2　证明四点共面 [探究问题] 能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？ [提示]　(1)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y． (2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)． (3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如∥． 【例2】　已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋，判断M，A，B，C四点是否共面． [解]　(1)∵＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋＝－－， ∴向量，，共面． 而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面． [母题探究] 1．(变条件)若把本例中条件“＝＋＋”改为“＋2＝6－3”，点P是否与点A，B，C共面． [解]　∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)， ∴3＝＋2，即＝－2－3． 根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面． 2．(变条件)若把本例条件变成“＋＝4－”，点P是否与点A，B，C共面． [解]　设＝＋x＋y(x，y∈R)，则＋x＋y＋＝4－， ∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－， ∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0， 由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足 显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面． 3．(变解法)上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？ [解]　(1)由题意知，＝＋＋OC． ∵＋＋＝1， ∴点P与点A，B，C共面． (2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1． ∴点P与A，B，C不共面． 证明四点共面的方法 (1)要证明四点共面，可先作出从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用． (2)直接利用共面向量定理的推论：即若＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面． 2．已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定下列各条件下，点P是否与A，B，M一定共面． (1)＋＝3－； (2)＝4－－． [解]　(1)原式可变形为 ＝＋(－)＋(－)＝＋＋， ∴－＝＋， ∴＝－－． ∴P与M，A，B共面． (2)原式可变形为 ＝2＋－＋－＝2＋＋， ∴＝－－－，又表达式中还含有， ∴P与A，B，M不共面． 类型3　证明线面平行 【例3】　如图在