（讲义）第12章 复数 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

类型1　复数的概念及其分类 形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a与b分别叫作复数的实部和虚部．若b≠0，则z叫作虚数；若a＝0且b≠0，则z叫作纯虚数；若b＝0，则z是实数． 【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时： (1)z∈R；(2)z为虚数． [解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以 由②得x＝4，经验证满足①③式． 所以当x＝4时，z∈R． (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以 由①得x>或x<． 由②得x≠4，由③得x>3． 所以当x>且x≠4时，z为虚数． 类型2　复数的四则运算 复数的四则运算主要包括复数的加法、减法、乘法、除法以及乘方运算． (1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似． (2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式． (3)复数的乘方运算中，注意in的周期性，以及若ω＝－＋i，则①ω3＝1；②1＋ω＋ω2＝0等性质的灵活应用． (4)利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 【例2】　(1)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi的模是________． (2)已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为________． (3)设z＝－i，则z2－z＋1＝________． (1)5　(2)＋i　(3)0　[(1)法一：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i， 故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5． 法二：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5． (2)因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i． (3)∵z＝－i， 则z2＝＝－－i＝－－i， ∴z2－z＋1＝－－i－＋1＝0．] 类型3　复数的几何意义 复数的几何意义要把握以下三点： (1)复数z、复平面内点Z、复平面内的向量，三者之间是一一对应的关系． (2)两个复数差的模的几何意义是这两个复数在复平面内对应的两点之间的距离． (3)复数的三角形式的运算的几何意义，也为数形结合提供一个平台． 【例3】　已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2． (1)求复数z； (2)设z，()2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m－z|＝1，求|m|的最值． [解]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi， ∴∴或 ∴z＝1＋i或z＝－1－i． (2)当z＝1＋i时，()2＝－2i，z－z2＝1－i， 则A(1,1)，B(0，－2)，C(1，－1)． ∴S△ABC＝×2×1＝1． 当z＝－1－i时，()2＝－2i，z－z2＝－1－3i， 则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)， ∴S△ABC＝×2×1＝1． ∴△ABC的面积为1． (3)由题知，z＝1＋i，对应点(1,1)在第一象限，|z|＝，又|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1， 则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆， ∴|m|最小值＝－1，|m|最大值＝＋1． 类型4　转化与化归思想 一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法． 【例4】　设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z． [解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则 z＋＝x＋yi＋ ＝＋i， ∵z＋∈R， ∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1． 又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数， ∴ ∴x＝，代入x2＋y2＝1中， 求出y＝±， ∴复数z＝±i． 学科网（北京）股份有限公司 $$