（讲义）第12章 12.4 复数的三角形式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

12.4　复数的三角形式* 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角表示．(重点) 2．了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(重点) 3．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(难点) 1．通过对复数的三角形式的乘除法法则的应用，培养数学运算的核心素养． 2．结合复数除法几何意义的学习，提升直观想象的核心素养． 设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z．记r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系． 知识点1　复数的辐角与辐角主值 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内一一对应的向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角． (2)任一非零的复数z＝a＋bi(a，b∈R) 的辐角有无限个值，这些值相差2π的整数倍，我们把其中适合于0≤θ＜2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角主值．记为arg z． 1．对于任意一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)是否都有唯一的模和辐角主值？复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数吗？ [提示]　每一个非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)都有唯一的模和辐角主值；复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数． (3)两个非零复数相等的充要条件 两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等． (4) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模与辐角主值 ①设复数z＝a＋bi(a，b∈R，z≠0)的辐角为θ，则cos θ＝，sin θ＝，其中r＝． ②复数z＝0，复数的模为0，辐角是任意的． 1．若复数z＝－1－i(i为虚数单位)，则arg z为(　　) A．－120° B．120° C．240° D．210° C　[由z＝－1－i，得复数z对应的点在第三象限，且cos θ＝－，所以arg z＝240°．故选C．] 知识点2　复数的三角形式 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为r，辐角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝． 则r(cos θ＋isin θ)称为复数z的三角形式，而a＋bi(a，b∈R)称为复数z的代数形式． 2．复数z＝1－i(i为虚数单位)的三角形式为(　　) A．z＝(sin 45°－icos 45°) B．z＝(cos 45°－isin 45°) C．z＝[cos(－45°)－isin(－45°)] D．z＝[cos(－45°)＋isin(－45°)] D　[依题意得r＝＝，复数z＝1－i对应的点在第四象限，且cos θ＝，因此，arg z＝315°，结合选项知D正确，故选D．] 知识点3　复数的三角形式的乘、除法法则及几何意义 (1) 复数的三角形式的乘法法则 ①若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]， 即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和． ②复数乘法的几何意义 在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为，，复数z1，z2的辐角主值分别为θ1，θ2，复数z1，z2的模分别为r1，r2，将向量按逆时针方向旋转θ2得到向量(模仍然为r1)，再把向量的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新向量，向量所对应的复数为r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，即为z1z2，这就是复数乘法的几何意义． (2)复数的三角形式的除法法则 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，当z2≠0，则＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 2．类比复数乘法的几何意义，解释复数除法的几何意义． [提示]　在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为，，复数z1，z2的辐角主值分别为θ1，θ2，复数z1、z2的模分别为r1，r2，将向量按顺时针方向旋转θ2得到向量(模仍然为r1)，再把向量的模r1变为原来的倍，从而得到一个新向量，向量所对应的复数为[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，即为，这就是复数除法的几何意义． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于各复数的幅角的积． (　　) (2)一个复数与i相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转． (　　) (3) [r(cos θ＋isin θ)]2＝r2[c