（讲义）第12章 12.3 复数的几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

12.3　复数的几何意义 1．理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数．(重点) 2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(难点) 通过对复数的几何意义的探究，提升直观想象和数学抽象的核心素养． 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型．那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 知识点1　复数的几何意义 (1)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴． (2)复数的几何意义 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．] 知识点2　复数的模 (1)定义 向量的模叫作复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|． (2)公式 |z|＝|a＋bi|＝． (3)几何意义 复数z对应点Z到原点O的距离． 3．若z＝1＋2i，则||＝________． 　[∵z＝1＋2i，∴|z|＝||＝．] 知识点3　复数加减法的几何意义 (1)如图所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且，不共线，以，为两条邻边画▱OZ1ZZ2．则向量与复数z1＋z2相对应，向量与复数z1－z2相对应． (2)|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离． 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？ [提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离． 4．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________． －6－8i　[因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i．] 类型1　复数的几何意义 【例1】　(1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限． (2)设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z． ①若点Z在虚轴上，求m的值； ②若点Z位于第一象限，求m的取值范围． (1)二　[实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限．] (2)[解]　z＝＝＝＋i． ①∵点Z在虚轴上，∴＝0，则m＝－2． ②点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0， 解得－2<m<． 故实数m的取值范围是． 复数可由复平面内的点或向量进行表示 (1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题． (2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题． [跟进训练] 1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z． (1)位于第三象限； (2)位于第四象限； (3)位于直线x－y－3＝0上． [解]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数． (1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限． (2)当实数x满足 即2＜x＜5时，点Z位于第四象限， (3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上． 类型2　复数加减法的几何意义 【例2】　(1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为________． (2)若，对应的复数分别是7＋i,3－2i，则||＝________． (1)－2＋10i　(2)5　[(1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i，即向量＋对应的复数为－2＋10i． (2)对应复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i， ∴||＝|－4－3i|＝＝5．] 1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则． 2．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能． [跟进训练] 2．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长． [解]　由复数加减法几何意义： 对应复