（讲义）第12章 12.2 第1课时 复数的加减与乘法运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

12.2　复数的运算 第1课时　复数的加减与乘法运算 1．理解复数代数形式的加法、减法、乘法运算法则．(重点) 2．能运用运算律进行运算．(难点) 3．掌握共轭复数的定义．(重点) 1．复数的运算法则是一种新的规定，它是数学体系建构过程中的主要组成部分，在对其探究的过程中，提升数学运算素养． 2．在应用运算法则解决相关问题的过程中，提升逻辑推理素养． 已知：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)． (1)类比实数的加减法和乘法运算及其关系，尝试计算z1＋z2 ，z1－z2 ，z1·z2 ． (2)类比实数的加减法和乘法运算，思考相应的运算律是否仍然成立？ 知识点1　复数的加减法 (1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)． ②加法法则：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； 减法法则：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ (　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．] 知识点2　复数的乘法与共轭复数 (1)复数的乘法 ①复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． ②乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (2)共轭复数 ①定义：实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数．复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi． ②当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数是它本身． 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ [提示]　复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并． 2．复数(3＋2i)i等于(　　) A．－2－3i　 B．－2＋3i C．2－3i　 D．2＋3i B　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，故选B．] 3．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋ 2的虚部为________． 0　[z2＋ 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋ 2的虚部为0．] 类型1　复数的加、减法运算 【例1】　(1)＋(2－i)－＝________． (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z． (3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z． (1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i＝1＋i．] (2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为z＋1－3i＝5－2i， 所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i， 即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1， 所以z＝4＋i． 法二：因为z＋1－3i＝5－2i， 所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i． (3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝， 又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i． 1．复数加、减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项． 2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)． [跟进训练] 1．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z＝________． 1＋i　[∵z－(1－i)＝2i， ∴z＝1－i＋2i＝1＋i．] 类型2　复数的乘法运算 【例2】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝________． (2)复数(4＋3i)i＝________． (1)3－4i　(2)－3＋4i　[(1)∵a＋i＝2－bi， ∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝22－2×2×i＋i2＝3－4i． (2)(4＋3i)i＝4i＋3i2＝－3＋4i．] 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i． [跟进训练] 2．若z1＝4＋bi(b∈R)，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝_____