（讲义）第12章 12.2 第2课时 复数的乘方与除法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

第2课时　复数的乘方与除法 1．理解并掌握虚数单位i的运算律，in的值随n的变化而成周期变化．(重点) 2．理解复数代数形式的乘方与除法的运算法则，深刻理解复数除法是乘法运算的逆运算．(重点、难点) 1．通过对复数除法定义的探究，提升逻辑推理素养． 2．通过对复数四则运算的学习，提升数学运算素养． 在实数的运算中有哪些幂的运算性质？能推广到复数集吗？ (1)类比实数的除法运算，计算 (a，b，c，d∈R，c＋di≠0)； (2)类比二次根式的分母有理化，利用分数的基本性质，将的分母化为实数，需要分数的分子、分母同时乘以怎样的复数？ 知识点1　复数的乘方与in(n∈N*)的周期性 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝znm，(z1z2)n＝zz． (2)虚数单位in(n∈N*)的周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i． 1．i2 025＝________． i　[i2 025＝i4×506＋1＝i．] 知识点2　复数的除法 把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，且x＋yi＝＝＋i(c＋di≠0)． 2．(2－i)÷i＝________． －1－2i　[(2－i)÷i＝＝＝－1－2i．] 类型1　i的运算特征 【例1】　计算下列各式的值． (1)1＋i＋i2＋…＋i2 022＋i2 023； (2)＋(1－i)2 022； (3)i2 022＋(＋i)8－． [解]　(1)1＋i＋i2＋…＋i2 022＋i2 023＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＋i2 021＋i2 022＋i2 023＝1＋i－1－i＝0． (2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i， ∴＋(1－i)2 022 ＝[(1＋i)2]1 011＋[(1－i)2]1 011 ＝(2i)1 011＋(－2i)1 011＝0． (3)i2 022＋(＋i)8－ ＝i4×505＋2＋[2(1＋i)2]4－ ＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i． 1．虚数单位i的性质 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． (2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 2．复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算． [跟进训练] 1．计算：(1)···…·． (2)1＋2i＋3i2＋…＋2 021i2 020． [解]　(1)∵＝i， ∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i． (2)设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2 021i2 020， ∴iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 021i2 021， ∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2020－2 021i2 021 ＝1－2 021i， ∴S＝＝ ＝1 011－1 010i． 类型2　复数的除法 【例2】　(1)＝________； (2)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝________； (3)i为虚数单位，＝________． (1)－1＋2i　(2)3＋4i　(3)－1　[(1)＝＝＝－1＋2i． (2)由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝＝3＋4i． (3)∵＝＝＝－i， ∴＝(－i)2＝－1．] 两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)把除式写为分式． (2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数． (3)对分子、分母分别进行乘法运算． (4)把运算结果化为复数的代数形式． [跟进训练] 2．(1)i为虚数单位，复数＝________； (2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝___________． (1)1＋i　(2)1＋i　[(1)＝＝1＋i． (2)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i．] 类型3　复数四则运算的综合应用 【例3】　计算：(1)＋(5＋i)2－； (2)． 以复数四则运算的法则为切入点，类比数的运算，对相应算式逐一求解. [解]　(1)＋(5＋i)2－ ＝＋(25＋10i－1)－ ＝i＋24＋10i－i＝24＋10i． (2)原式＝ ＝＝ ＝·(2i)2·i＝－4i． 1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减． 2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用 (1)＝＝＝i．利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化． (2)记住一些简单结论，如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等． [跟进训练] 3．