（讲义）第12章 12.1 复数的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

12.1　复数的概念 1．了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i．(重点) 2．理解复数的概念及复数的代数表示．(重点) 3．掌握复数相等的充要条件．(重点) 1．在对实数集扩充的探索过程中，提升数学抽象素养． 2．结合复数的有关概念，提升逻辑推理素养． 数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解． 我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 知识点1　复数的相关概念 (1)虚数单位 为了使实数的开方运算总可以实施，我们引入一个新数i，叫作虚数单位，并规定： ①i2＝－1； ②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． (2)复数、复数集 ①形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C． ②复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部． 1．复数i－2的虚部是(　　) A．i B．－2 C．1 D．2 C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1．] 知识点2　复数的分类与复数相等 (1)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数a；当b≠0时，z叫作虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫作纯虚数． (2)复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等． 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？ [提示]　 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (　　) (3)bi是纯虚数． (　　) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0 A　[∵(x＋y)i＝x－1， ∴ ∴x＝1，y＝－1．] 类型1　复数的相关概念 【例1】　下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ D　[对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误．两个虚数不能比较大小，则②错误．对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误．显然，④正确．] 复数相关概念的辨析 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． [跟进训练] 1．下列命题中是假命题的是________．(填序号) ①自然数集是非负整数集； ②实数集与复数集的交集为实数集； ③实数集与虚数集的交集是{0}； ④纯虚数集与实数集的交集为空集． ③　[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题．] 类型2　复数的分类及应用 【例2】　(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是________． (2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时： ①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数． (1)a>0且a＝±b　[要使复数z为纯虚数，则 ∴a>0，a＝±b．] (2)[解]　①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3． ②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3． ③要使z为纯虚数，需满足解得m＝0或m＝－2． 利用复数的