（讲义）第11章 解三角形 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

类型1　利用正、余弦定理解三角形 解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，解三角形的一般方法如下： (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b． (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C． 【例1】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c＝2acos B． (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． [解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B． (2)由S＝，得absin C＝，根据正弦定理及(1)所求A＝2B， 故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B， 因为sin B≠0，所以sin C＝cos B， 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B． 当B＋C＝时，A＝； 当C－B＝时，A＝． 综上，A＝或A＝． 类型2　判断三角形的形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解． 【例2】　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． [解]　法一(正弦定理边化角)：根据条件2b＝a＋c，由正弦定理， 得2sin B＝sin A＋sin C． ∵B＝60°，∴A＋C＝120°． ∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C． 展开整理得sin C＋cos C＝1． ∴sin(C＋30°)＝1． ∵0°<C<120°， ∴C＋30°＝90°． ∴C＝60°，则A＝60°． ∴△ABC为等边三角形． 法二(余弦定理法)：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B． ∵B＝60°，b＝， ∴＝a2＋c2－2accos 60°， 化简得(a－c)2＝0， ∴a＝c． 又B＝60°， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 类型3　正、余弦定理的实际应用 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求． 【例3】　如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5 km． (1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长； (2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1 km) (参考数据：≈1.73，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78) [解]　(1)设BD＝x km，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos 30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3．因为4＋3>8，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9 km． (2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6．在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9．故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km． 类型4　与三角形有关的综合问题 三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题． (1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解． (2)解三角形与其他知识