（讲义）第10章 三角恒等变换 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

类型1　求值问题 三角函数求值的三种类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 【例1】　已知sinsin＝，α∈，求的值． [解]　∵sinsin＝， ∴sincos＝， sin＝，即cos 2α＝． 又α∈，∴2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－ ＝－＝－． ∴＝ ＝＝－． 类型2　化简与证明 三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【例2】　求证：＝． [证明]　证明原不等式成立，即证明 1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立． ∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ) ＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ． ∴＝． 类型3　三角恒等变换与三角函数的综合问题 三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． 【例3】　已知函数f(x)＝cos xsin－cos2x＋，x∈R． (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)＝cos x·－cos2x＋ ＝sin x·cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin． ∴f(x)的最小正周期T＝＝π． (2)∵－≤x≤， ∴－≤2x－≤， ∴－1≤sin≤， ∴－≤f(x)≤， ∴函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－． 类型4　转化化归思想在三角恒等变换中的应用 在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握． 【例4】　已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [解]　∵tan α＝＞0， ∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝＞0， ∴2α∈， 又∵tan β＝－＜0，β∈(0，π)， ∴β∈， ∴tan(2α－β)＝ ＝＝1， 又∵2α∈，β∈， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π． 学科网（北京）股份有限公司 $$