（讲义）第10章 10.1 10.1.2 两角和与差的正弦-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

10.1.2　两角和与差的正弦 1．能由余弦的和(差)角公式推导正弦的和(差)角公式，并从推导过程中体会到化归思想的作用．(重点) 2．能用正弦的和(差)角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．(重点、难点) 1．通过公式推导，培养类比推理能力，提升逻辑推理素养． 2．在正弦的和(差)角公式的应用中，提升数学运算素养． (1)sin 30°与cos 60°间存在怎样的数量关系？ (2)你能借助诱导公式及cos(α±β)的公式推导出sin(α±β)的公式吗？ 知识点　两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式： S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)两角差的正弦公式： S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (3)辅助角公式 asin x＋bcos x ＝， 令cos φ＝，sin φ＝， 则有asin x＋bcos x＝(cos φsin x＋sin φcos x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，φ为辅助角． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 150°＝sin 120°＋sin 30°． (　　) (2)sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝． (　　) (3)α，β∈R时，sin(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (　　) (4)sin 54° cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°． (　　) [提示]　(1)公式错误． (2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin 90°＝1． (3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (4)原式＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24° ＝sin(54°－24°)＝sin 30°． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．sin ＝________． 　[原式＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝．] 3．sin 15°＋cos 15°＝________． 　[原式＝cos 30°sin 15°＋sin 30°cos 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝．] 类型1　两角和与差的正弦公式的简单应用 【例1】　求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)． 1从角和“形”入手，转化成两角和差的正弦求值. 2注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°. [解]　(1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝． (2)原式＝ ＝＝＝1． 1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值． 2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求． [跟进训练] 1．求下列各式的值： (1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． [解]　(1)sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15° ＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝． (2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝． (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0． 类型2　给值求值 【例2】　已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求cos(α＋β)的