（讲义）第10章 10.1 10.1.1 两角和与差的余弦-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

10.1　两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 1．理解用向量的方法推导两角差的余弦公式的过程． 2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用．(重点) 3．能用余弦的和(差)角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．(重点、难点) 1．在对两角和与差的余弦公式的探索及推理过程中，提升逻辑推理素养． 2．在余弦的和(差)角公式的应用中，提升数学运算素养． 我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos 15°的值呢？一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出cos(α－β)的值？ 知识点　两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin_β． (2)两角和的余弦公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？ [提示]　不成立． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β． (　　) (2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°． (　　) (3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0． (　　) (4)coscos＋sinsin＝cos 2α． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．cos 75°＝________；cos 15°＝________． 　　[cos 75°＝cos(30°＋45°) ＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝； cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝．] 类型1　两角和与差的余弦公式的简单应用 【例1】　求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)； (3)cos 15°＋sin 15°． [解]　(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝． (2)原式＝ ＝＝cos 15°＝cos(60°－45°) ＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝． (3)∵cos 60°＝，sin 60°＝， ∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝． 1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值． 提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用． [跟进训练] 1．求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°； (3)． [解]　(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝． (2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝． (3)原式＝ ＝ ＝＝＝． 类型2　已知三角函数值求角 【例2】　已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值． 以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cosα＋β的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值. [解]　因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝＝＝， sin β＝＝＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝． 由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π． 因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角， 所以α＋β＝． 已知三角函数值求角，一般分三步： 第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数； 第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角. [跟进训练] 2．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． [解]　由cos α＝，0<α<， 得sin α＝＝＝． 由0<β<α<， 得0<α－β<． 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝． 由β＝α－(α－β)， 得