（练习）章末综合测评3 解三角形-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

章末综合测评(三)　解三角形 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 A　[由正弦定理＝， 知sin B＝＝>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．] 2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　) A． B．－ C． D．－ A　[根据正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3， 设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)． 则有cos C＝＝．] 3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 B　[∵＝， ∴sin B＝sin A＝sin 45°＝＞． 又∵a＜b，∴B有两个解，即此三角形有两解．] 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为(　　) A．6 B．12 C．4 D．2 A　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6．故选A． 法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6．故选A．] 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 B　[由已知可得＝－， 即cos A＝，b＝ccos A． 法一：由余弦定理得cos A＝， 则b＝c·， 所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A． 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)， 从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A， 即sin Acos C＝0．在△ABC中，sin A≠0， 所以cos C＝0，由此得C＝， 故△ABC为直角三角形．] 6．中国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，若在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则“三斜求积”公式为S＝．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝6，则运用上述公式可得正确的命题是(　　) A．△ABC的周长为10＋2 B．△ABC三个内角满足2B＝A＋C C．△ABC外接圆的半径为 D．△ABC内切圆的半径为 A　[由题意，设a＝2x，b＝3x，c＝x， ∴＝6， 即＝12，∴x＝2，故a＝4，b＝6，c＝2，则△ABC的周长为10＋2，A正确．cos C＝＝，又0<C<π，∴C＝，故A＋B＝＝2C，B错误．由C＝，得sin C＝，若外接圆半径为R，则2R＝＝，即R＝，C错误．若内切圆半径为r，则r×(10＋2)＝6，即r＝，D错误，故选A．] 7．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　) A． B． C． D． D　[设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a． 在△ABD中，由余弦定理，得 cos A＝＝＝． 又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝． 在△ABC中，由正弦定理得，＝， ∴sin C＝·sin A＝·＝．] 8．启东中学天文台是启中校园的标志性建筑．小明同学为了估算学校天文台的高度，在学校宿舍楼AB，其高为(15－5)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则小明估算学校天文台的高度为(　　) A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m B　[在直角三角形ABM中，AM＝， 在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°， 故∠ACM＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理，＝， 故CM＝·AM＝×． 在直角三角形CDM中，CD＝CMsin 60°＝×＝×＝30(m)．故选B．] 二、选择题(本大题共4小题