第11章 专题微课 解三角形及其应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

第11章 专题微课 解三角形及其应用 [课时跟踪检测]　 1.在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A=cos(B+C)，且b=2，c=6，则a= (　　) A. B.2 C. D.2 解析：选D　cos 2A=-cos A=2cos2A-1， 即2cos2A+cos A-1=0，解得cos A=-1(舍去)或cos A=. △ABC中，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=28，得a=2.故选D. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=，则B= (　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为acos B-bcos A=c，所以由正弦定理得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(B+A)，则2sin Bcos A=0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A=0，A=.所以B=π-A-C=π--=，故选C. 3.(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=1，a2+c2-b2=ac，sin2B=3sin Asin C，则 (　　) A.B= B.ac= C.△ABC的面积为 D.△ABC的周长为+1 解析：选ABD　由a2+c2-b2=ac，有cos B==，得B=，选项A正确;因为sin2B=3sin Asin C，由正弦定理有b2=3ac，b=1，得ac=，选项B正确;△ABC的面积为acsin B=××=，选项C错误;因为a2+c2-b2=ac，所以b2=1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac，解得a+c=，故△ABC的周长为+1，选项D正确.故选ABD. 4.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即S=，其中p=(a+b+c).我国南宋著名数学家秦九韶也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S=. 这个公式中的Δ应该是 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　由余弦定理知=accos B，所以S=casin B=== =，所以Δ=.故选C. 5.线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2=BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.在△ABC中，AB=AC，A=36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点.利用上述结论，可以求出cos 36°= (　　) A. B. C. D. 解析：选B　设AB=2，AD=x，又AB=AC，所以CD=2-x.由黄金分割点的定义可得AD2=AC·CD，即x2=2·(2-x)，解得AD=-1(负值已舍去). 在△ABD中，由余弦定理得cos 36°===.故选B. 6.定义平面向量的正弦积a※b=|a||b|sin 2θ(其中θ为a，b的夹角).已知△ABC中，※=※，则此三角形一定是 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解析：选A　在△ABC中，由※=※，得||||sin 2(π-B)=||||sin 2(π-C)，则||sin 2B=||sin 2C.由正弦定理得sin Csin 2B=sin Bsin 2C，即2sin Csin Bcos B=2sin Bsin Ccos C，而sin Bsin C>0，因此cos B=cos C.又B，C∈(0，π)，于是B=C，所以△ABC是等腰三角形. 7.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=，内角B的平分线交AC于点D，且BD=，则下列结论正确的是 (　　) A.+=1 B.b的最小值是2 C.a+3c的最小值是4 D.△ABC的面积最小值是 解析：选ABD　由题意得S△ABC=S△ABD+S△BCD，由角平分线以及面积公式得acsin =×asin +×csin ，化简得ac=a+c，所以+=1，故A正确;由A知ac=a+c≥2，当且仅当a=c时取等号，∴ac≥4，∴S△ABC=acsin∠ABC=ac≥，当且仅当a=c=2时取等号，故D正确;由余弦定理得b2=a2+c2-2accos∠ABC=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(ac)2-3ac≥42-3×4=4， 所以b≥2，即b的最小值是2，当且仅当a=c=2时取等号，故B正确;由ac=a+c得+=1，∴a+3c=(a+3c)=1+++3≥4+2=4+2， 当且仅当即时取等号，故C错误. 8.(5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c，B=，则△ABC的面积为　　　　.  解析：由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B. 又∵b=6，a=2c，B=， ∴36=4c2+c2-2×2c2×，∴c=2，a=4，∴S△ABC=acsin B=×4×2×=6. 答案：6 9.(5分)如图，在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC边上的中线AD=，则BC=　　　　.  解析：设BD=DC=x.∵∠ADB+∠ADC=π， ∴cos∠ADB+cos∠ADC=+=+==0，∴x=，∴BC=2BD=9. 答案：9 10.(5分)如图，无人机在离地面高300 m的A处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为　　　　m.  解析：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=45°，∴AC=AB=300 m，又∠MCA=180°-60°-45°=75°，∠MAC=15°+45°=60°，∴∠AMC=45°，在△AMC中，由正弦定理得MC==300 m，∴ MN=MCsin∠MCN=300sin 60°=450 m. 答案：450 11.(5分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A=bsin B+(c-b)sin C，AD是△ABC的角平分线，D在边BC上，AD=，b=3c，则a的值为　　　　　.  解析：因为asin∠BAC=bsin B+(c-b)sin C，所以由正弦定理得a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，故cos∠BAC===，由∠BAC∈(0，π)，可得∠BAC=. 因为AD是△ABC的角平分线，D在边BC上，可得∠BAD=∠DAC=， 所以由余弦定理可得 BD=， CD=，因为b=3c， 所以由角平分线定理可得CD=3BD， 即=3， 整理可得c=，b=4，所以由余弦定理可得 a==. 答案： 12.(10分)已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)(sin A-sin B)=bsin C. (1)证明：A=2B;(5分) (2)若a=3，b=2，求△ABC的面积.(5分) 解：(1)证明：因为(a+b)(sin A-sin B)=bsin C， 所以(a+b)(a-b)=bc，即a2-b2=bc. cos B==，2sin Acos B=sin B+sin C，2sin Acos B=sin B+sin(A+B)，sin(A-B)=sin B， 所以A-B+B=2kπ+π或A-B-B=2kπ，k∈Z. 又A，B∈(0，π)，所以A=2B. (2)由(1)得a2-b2=bc，又a=3，b=2，所以c=. 由余弦定理可得 cos C===. 因为C∈(0，π)，所以sin C==， 所以△ABC的面积S=absin C=×3×2×=. 13.(10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A-(sin B-sin C)2=2sin Bsin-sin Bcos C. (1)求A;(5分) (2)若·=12，a=2，c>b，求b，c.(5分) 解：(1)在△ABC中，依题意，sin2A-(sin2B-2sin Bsin C+sin2C)=2sin Bsin Ccos+2sin Bcos Csin-sin Bcos C. 则sin2A-sin2B-sin2C+2sin Bsin C=sin Bsin C， 即sin2A-sin2B-sin2C=-sin Bsin C， 由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A==， 而0<A<π，所以A=. (2)依题意，·=bccos A=bc=12，则bc=24. 又b2+c2-a2=bc，a=2， 则有(b+c)2=3bc+28=100，即b+c=10. 又b<c，解得 所以b=4，c=6. 14.(15分)(2024·天津高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B=，b=5，=. (1)求a的值;(5分) (2)求sin A的值;(5分) (3)求cos(B-2A)的值.(5分) 解：(1)由=得a=c， 由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B，即c2+c2-25=2×c×c×， c2-25=c2，解得c=6，故a=c=4. (2)因为cos B=， 所以sin B==. 由正弦定理=，得=， 解得sin A=. (3)因为a<b，所以A<B，则cos A>0. 由sin A=，得cos A=， 则cos 2A=2cos2A-1=， sin 2A=2sin Acos A=. 故cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A=×+×=. 学科网（北京）股份有限公司 $