（练习）章末综合测评1 平面向量-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

章末综合测评(一)　平面向量 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a共线的单位向量是． A．3 B．2 C．1 D．0 D　[根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．] 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 D　[2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．] 3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　) A．2 B． C． D． D　[设||＝x，则||＝x， ·＝(＋)·＝· ＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝．] 4．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为线段EF上一点，且满足＝＋m，则实数m＝(　　) A． B． C．－ D．－ A　[由题意，得＝，＝，且存在实数λ使得＝λ＋(1－λ)＝λ(＋)＋(1－λ)(＋)＝λ＋(1－λ)＝＋．又＝＋m，所以，解得m＝，故选A．] 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　) A． B． C． D． D　[设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)， 由已知可得 解得即c＝．] 6．已知在△ABC中，E为AC上一点，且＝，P为BE上一点，且满足＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值为(　　) A．12 B．9 C．5 D．3 B　[∵＝，即＝4，∴＝m＋n＝m＋4n．又P为BE上一点，不妨设＝λ(0<λ<1)，∴＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，即有(1－λ)＋λ＝m＋4n．∵，不共线，∴，∴m＋4n＝1－λ＋λ＝1，∴＋＝(m＋4n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故选B．] 7．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得＝m＋n，则m－n的值为(　　) A．－ B．0 C． D． A　[＝＋＝＋＝＋＋＝＋，所以m－n＝－．故选A．] 8．在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，有以下结论：①存在满足条件的△ABC，使得·＝0；②存在满足条件的△ABC，使得∥(＋)．下列说法正确的是(　　) A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 B　[如图，以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．不妨设A(2x,2y)(y≠0)，B(－1,0)，C(1,0)，则D(0,0)，E(x，y)，＝(－1－2x，－2y)，＝(x－1，y)，若·＝0，则(－1－2x)(x－1)－2y2＝0，∴(－2x－1)(x－1)＝2y2，满足条件的x，y明显存在，∴①成立；记AB的中点为F，则＋＝2，记CF与AD的交点为G，则G为△ABC的重心，∴G为AD的三等分点，又E为AD的中点，∴与不平行，故②不成立．故选B．] 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分) 9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是(　　) A．|a·b|≤|a||b| B．若a·b＝c·b且b≠0，则a＝c C．若a，b是两个非零向量，且|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向 D．若a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 AC　[对于A，由平面向量数量积定义可知|a·b|＝|a||b|·|cos〈a，b〉|，则|a·b|≤|a||b|，所以A正确；对于B，当a与c都和b垂直时，a与c的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误；对于C，因为|a－b|＝|a|＋|b|，所以(a－b)2＝(|a|＋|b|)2，即－2a·b＝2|a||b|，即a，b的夹角为π，所以a与b共线且反向，故C正确；对于D，已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，可得a·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b>0，即5＋3λ>0，解得λ>－，当a与a＋λb的夹角为0时，a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，所以2＋2λ＝2＋λ，即λ＝0，所以a与a＋λb的夹角为锐角时λ>－