（练习）课时分层作业24 复数的三角形式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(二十四)　复数的三角形式* 一、选择题 1．下列表示复数1＋i的三角形式中，正确的个数是(　　) ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 B　[∵r＝＝，cos θ＝，sin θ＝， ∴辐角主值为， ∴1＋i＝ ＝， 故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选B．] 2．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　) A． B．[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)] C． D． A　[因为1＋i＝， cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ) ＝ ＝．] 3．计算的结果是(　　) A．－9　 B．9　 C．－1　 D．1 B　[ ＝9 ＝9＝9，故选B．] 4．若复数z＝r(cos θ＋isin θ)(r＞0，θ＜R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　) A．1＋i　 B．1－i　 C．－i　 D．＋i D　[由复数z的模为2，辐角为， 可得z＝2＝－1＋i． 所以＝＝＝＋i． 故选D．] 5．非零复数z满足＝1且arg z＝π，则复数z为(　　) A．－i　　　　　　 B．－i C．－＋i D．－＋i [答案]　C 二、填空题 6．设z1，z2，z3在复平面内对应的点分别为A，B，C，z＝(1＋i)．若|z1|＝1，z2＝z1z，z3＝z2z，则四边形OABC的面积为________． 　[由|z1|＝1，得OA＝1．由z＝(1＋i)，得z＝3．因为z2＝z1z，所以z2＝z1·3，故OB＝3，且∠AOB＝．又z3＝z2z，所以z3＝z2·3，故OC＝9，且∠BOC＝．因此S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝OA·OBsin＋OB·OCsin＝．] 7．设z＝1－2i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________． －　[所得向量对应的复数为(1－2i)· ＝(1－2i) ＝－i，故虚部为－．] 8．复数1＋i的辐角主值是 ________，三角形式是_________________． 　　[复数1＋i的模是＝， 因为1＋i对应的点在第一象限且辐角的正切tan θ＝1，它的辐角主值为． 三角形式为．] 三、解答题 9．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根． [解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝， 所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，所以z2＝， z1＝z2＝(1＋i)z2＝· ＝2， 所以z1的立方根为 ，k＝0,1,2， 即，， ． 10．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈． (1)求z的三角形式； (2)记A、B、C分别表示复数z、ω、－2ω在复平面上的对应点．已知A、B、C三点成逆时针顺序，且△ABC为等边三角形，求tan(arg ω)． [解]　(1)由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i．∵arg z∈， ∴z＝－1－i应舍去， ∴z＝－1＋i＝2． (2)由题意，CA：z－(－2ω)＝z＋2ω， CB：ω－(－2ω)＝3ω， ∵|CA|＝|CB|，A、B、C三点位置成逆时针顺序，又∠ACB＝， ∴把CA按逆时针方向旋转60°即得CB， ∴3ω＝(z＋2ω)， 将z＝2代入上式，解得ω＝－，由点B在第三象限知tan(arg ω)＝． 11．复数z＝tan θ＋i的三角形式是(　　) A．(sin θ＋icos θ) B．(cos θ＋isin θ) C．－ D．－ C　[因为<θ<π，所以cos θ<0， 所以z＝tan θ＋i＝－[－sin θ＋i(－cos θ)]＝－，故选C．] 12．(多选题)任何一个复数z＝a＋bi(其中a、b∈R，i为虚数单位)都可以表示成：z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A．|z2|＝|z|2 B．当r＝1，θ＝时，z3＝1 C．当r＝1，θ＝时，＝－i D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数 AC　[对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则 z2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)， 可得|z2|＝|r2(cos 2