（练习）课时分层作业23 复数的几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(二十三)　复数的几何意义 一、选择题 1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[∵sin 2>0，cos 2<0， ∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D．] 2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　) A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝0 D　[由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2．故选D．] 3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i B　[因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i．] 4．设非零复数z1，z2所对应的向量分别为，，则下式可以推出⊥的是(　　) A．z1＝iz2 B．z1＝2z2 C．z1＝－iz2 D．|z1＋z2|＝|z1－z2| ACD　[设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则＝(a，b)，＝(c，d)．对于A，若z1＝iz2，则a＝－d，b＝c，此时·＝ac＋bd＝0，即⊥，故A正确；对于B，若z1＝2z2，则a＝2c，b＝2d，此时＝2，故B错误；对于C，若z1＝－iz2，则a＝d，b＝－c，此时·＝ac＋bd＝0，则⊥，故C正确；对于D，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则＝，整理得ac＋bd＝0，即·＝0，即⊥(也可由几何意义得到⊥)，故D正确．故选ACD．] 5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3．] 二、填空题 6．已知复数z＝a＋bi，其中a<0，b<0，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)： 甲：z＋＝－4；乙：z－＝2i；丙：z·＝7；丁：＝2．若在甲、乙、丙、丁四人的陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝________． －2－i　[甲：z＋＝－4，所以a＋bi＋a－bi＝－4，所以a＝－2；乙：z－＝2i，所以a＋bi－a＋bi＝2i，所以b＝，不符合b<0，所以乙陈述错误；丙：z·＝7，所以(a＋bi)(a－bi)＝7，所以a2＋b2＝7；丁：＝2，所以a＋bi＝2(a－bi)，所以a－3bi＝0，与已知矛盾，所以丁陈述错误．所以只有甲、丙陈述正确．即a＝－2，a2＋b2＝7，得b＝－，所以z＝－2－i．] 7．设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________． 　[＝－1＋i，则|(1－z)·|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝．] 8．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________． 2　[法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4． 因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝＝＝2． 法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 则z2＝－a＋(1－b)i， 则 即 所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2．] 三、解答题 9．已知复数z＝1＋ai(a∈R)，w＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z＝＋2i，且|z－w|＝，求角α的值． [解]　由题意知1＋ai＝1＋(2－a)i， 则a＝2－a，即a＝1，∴z＝1＋i． 由|z－w|＝得(1－cos α)2＋(1－sin α)2＝5， 整理得sin α＋cos α＝－1，∴sin＝－， ∵0<α<2π， ∴<α＋<， ∴α＋＝或α＋＝，∴α＝π或α＝． 10．在①z2＝－16；②z为纯虚数；③2z＝(1＋i)6(i为虚数单位)这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答问题． 已知复数z＝(m2－2m