（练习）课时分层作业13 两角和与差的正切-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十三)　两角和与差的正切 一、选择题 1．tan 255°＝(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ D　[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋．] 2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝(　　) A．2 B． C．1 D． D　[tan(α＋β)＝＝＝4， ∴1－tan αtan β＝，tan αtan β＝．] 3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝(　　) A． B． C． D． A　[∵B∈，sin B＝，∴cos B＝． ∴tan B＝． ∴tan(A＋B)＝＝＝1． 又A，B∈，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝．] 4．已知α∈，β∈，sin α＋cos β＝cos α＋sin β，则tan(α－β)＝(　　) A． B．1 C．2＋ D．－2 D　[由sin α＋cos β＝cos α＋sin β， 得sin α－cos α＝sin β－cos β， 即2sin＝2sin．由α∈，β∈，可得α－＝β－，则α－β＝－，故tan(α－β)＝＝－2．故选D．] 5．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan Atan C，则角B＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° C　[因为A＋B＋C＝180°， 所以tan(A＋C)＝－tan B， 又tan A＋tan B＋tan C＝3， 所以tan A＋tan C＝3－tan B， 又tan2B＝tan Atan C， 所以由tan(A＋C)＝得－tan B＝， 所以－tan B(1－tan2B)＝3－tan B， 所以tan3B＝3，所以tan B＝． 又0°<B<180°，所以B＝60°．] 二、填空题 6．＝________． 　[原式＝＝ ＝tan(55°－25°)＝tan 30°＝．] 7．在△ABC中，若0<tan Btan C<1，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”) 钝角　[易知tan B>0，tan C>0，B，C为锐角． <1，∴cos Bcos C>sin Bsin C． ∴cos Bcos C－sin Bsin C>0，∴cos(B＋C)>0，即cos A＜0，故A为钝角．] 8．已知P(2，m)为角α终边上一点，且tan＝，则sin α＝________． －　[∵P(2，m)为角α终边上一点， ∴tan α＝， 再根据tan＝＝＝， ∴m＝－1，∴P(2，－1)， 则sin α＝＝＝－．] 三、解答题 9．如图，三个全等的矩形相接，且AB＝a，AD＝b． (1)若b＝2a，求tan(α＋β)的值； (2)已知α＋β＝γ，求的值． [解]　(1)若b＝2a，则tan α＝＝，tan β＝＝1， 所以tan(α＋β)＝＝＝5． (2)易知tan α＝，tan β＝，tan γ＝， 因为α＋β＝γ， 所以tan(α＋β)＝＝tan γ， 即＝，化简得a2＝b2， 所以a＝b，所以＝1． 10．从①α，β都是钝角，且tan α＝－，cos β＝－，②α是锐角，β是钝角，且＝，tan β＝－这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知________，求α＋β的值． [解]　方案一：选择条件①． 因为β是钝角，cos β＝－， 所以sin β＝＝＝， 所以tan β＝＝＝－． tan(α＋β)＝＝＝－1， 因为α，β都是钝角，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝． 方案二：选择条件②． 由＝，得5tan2α＋24tan α－5＝0， 即(5tan α－1)(tan α＋5)＝0， 解得tan α＝或tan α＝－5． 又α是锐角，所以tan α＝， 所以tan(α＋β)＝＝＝－1， 因为α是锐角，β是钝角，所以<α＋β<， 所以α＋β＝． 11．(多选题)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论一定正确的是(　　) A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α＋β)＝1 C．sin2＋sin2＝1 D．sin2α＋cos2β＝1 AD　[因为tan(α＋β)＝＝tan α＋tan β，且tan α≠0，tan β≠0，所以tan α＋tan β＝0，即tan(α＋β)＝0，则α＋β＝k1π，k1∈Z，所以sin(α＋β)＝0，cos(α＋β)＝±1，故A正确，B不正确．又α＝k1π－β，k1∈Z，所以当k1＝2，即α＝2π－β时，sin＝sin，则C不一定正确．而sin2α＝sin