（练习）课时分层作业12 两角和与差的正弦-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十二)　两角和与差的正弦 一、选择题 1．sin 255°＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[sin 255°＝－sin 75°＝－sin(45°＋30°)＝－．] 2．sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． B　[sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin(45°＋15°)＝sin 60°＝，故选B．] 3．在△ABC中，2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不确定 B　[在△ABC中，C＝π－(A＋B)， ∴2cos Bsin A＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B． ∴－sin Acos B＋cos Asin B＝0． 即sin(B－A)＝0． ∴A＝B．即△ABC为等腰三角形.] 4．已知cos α＝，且tan α＝，则sin(β－α)的值为(　　) A． B． C．－ D．－ C　[因为tan α＝，所以＝，则sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，即sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α，所以sin(β－α)＝－sin(α－β)＝－cos α＝－，故选C．] 5．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为(　　) A． B．1 C． D．2 B　[∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ] ＝sin x， ∴f(x)的最大值为1．] 二、填空题 6．要使sin α－cos α＝有意义，则实数m的取值范围是________． 　[∵sin α－cos α＝2sin， ∴2sin＝， ∴sin＝， ∴≤1，解得－1≤m≤．] 7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值为________，最小值为________． 2　－1　[f(x)＝sin x＋cos x ＝2 ＝2 ＝2sin． ∵－≤x≤， ∴－≤x＋≤π， ∴－≤sin≤1， 即－1≤f(x)≤2．] 8．已知关于x的方程sin x＋cos x＋k＝0在x∈[0，π]上有解，则实数k的取值范围为________． [－，1]　[∵sin x＋cos x＋k＝0， ∴sin x＋cos x＝－k， 即sin＝－k． 又∵0≤x≤π， ∴≤x＋≤π， ∴－1≤sin≤． ∴－1≤－k≤，即－≤k≤1．] 三、解答题 9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin 2α． [解]　∵＜β＜π， ∴－π＜－β＜－． ∵＜α＜π， ∴－＜α－β＜． 又∵β＜α， ∴0＜α－β＜， ∵cos＝． 则sin＝． ∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π， ∴cos(α＋β)＝－． ∴sin 2α＝sin ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝×＋×＝－． 10．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x＜． (1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式； (2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值． [解]　(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x ＝cos x＋··cos x ＝cos x＋sin x ＝2 ＝2 ＝2sin． (2)∵0≤x＜，∴≤x＋＜， 由x＋≤，得x≤． ∴f(x)在上是增函数， 在上是减函数． ∴当x＝时，f(x)有最大值为2． 11．(多选题)设函数f(x)＝sin＋cos，则f(x)(　　) A．是偶函数 B．在区间上是减函数 C．最大值为2 D．其图象关于直线x＝对称 ABD　[f(x)＝sin＋cos ＝sin＝cos 2x． f(－x)＝cos(－2x)＝cos(2x)＝f(x)， 故f(x)是偶函数，A正确； 因为x∈，所以2x∈(0，π)，因此f(x)在区间上是减函数，B正确； f(x)＝cos 2x的最大值为，C不正确； 当x＝时，f(x)＝cos＝－，因此当x＝时，函数有最小值，因此函数图象关于直线x＝对称，D正确．] 12．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　) A． B． C．或 D．或 A　[由 ①2＋②2