6.3 对数函数13种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

6.3 对数函数13种常见考法归类 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 注：一个函数是对数函数，必须是形如y＝logaxa＞0且a≠1的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x. 2、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 注：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式. 3、求函数值域或最大（小）值的常用方法 (1)直接法,根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域. (2)配方法,当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的形如y＝a[f（x）]2＋bf（x）＋c，求函数值域问题时，可以用配方法. (3)单调性法,根据在定义域或定义域的某个子集上的单调性，求出函数的值域. (4)换元法,求形如y＝logaf（x）型函数值域的步骤：①换元，令u＝f（x），利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围. 4、对数函数的图象 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 5、有关对数函数图象间的变换规律 (1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称. 注：1.已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b． 2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|． 以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y． 6、比较对数值大小的常用方法 (1)底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较. (2)底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较. (3)当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较. (4)对于多个对数的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小. (5)当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论. 7、对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式b＝logaab，再借助y＝logax的单调性求解. (3)形如logaf(x)>logag(x)（f（x），g（x）>0，a>0且不等于1）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 8、对数型复合函数的单调性 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 9、反函数 （1）反函数的定义 一般地，设、分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记