6.2 指数函数12种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

6.2 指数函数12种常见考法归类 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． （3）指数函数的解析式必须具有三个特征： ①底数a为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. （4）求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件. 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 4、函数图象的变换规律 (1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度). (2)对称变换： ①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称； ②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象； ③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变. 5、判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律. 6、处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 7、指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 8、比较指数幂的大小 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决. (3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象. 9、简单指数不等式的解法 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 10、指数型函数模型 形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． 11、指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题. (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型. 12、解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1指数函数的概念判断 考点2利用指数函数概念求参 考点3求指数函数的解析式 考点4指数型函数的定义域、值域问题 考点5指数型函数过定点问题 考点6指数函数的图象问题 考点7比较指数幂的大小 考点8解指数型不等式 考点9指数型函数的单调性问题 考