7.2.2 同角三角函数关系7种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

7.2.2 同角三角函数关系7种常见考法归类 1、同角三角函数关系 （1）平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 （2）商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1）“同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切恒成立，而仅对成立． 2、求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 3、已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． 4、sin α±cos α型的求值问题 （1）已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可． （2）已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负． 注；已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有： (1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 5、化简三角函数式的常用方法 （1）切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简. （2）对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.,3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的. （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的． 提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象. 6、三角函数恒等式证明 （1）在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用． （2）利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有： ①从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． ②左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子． ③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． ④变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等． ⑤比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1 sina、cosa、tana知一求二 考点2 由条件等式求正、余弦 考点3 利用平方关系求参数 考点4 正、余弦齐次式的计算 考点5 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 考点6 三角函数的化简、求值 考点7 三角函数恒等式的证明 考点1 sina、cosa、tana知一求二 1．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知，是第三象限角，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023上·四川·高三统考学业考试）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·上海松江·高三校考期中）已知，且，则的值为（