8.2 函数与数学模型（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

8.2 函数与数学模型 一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 二、用函数模型解应用问题的四个步骤 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3、求模：求解数学模型，得出数学模型； 4、还原：将数学结论还原为实际问题。 三、函数拟合与预测的一般步骤 1、通过原始数据、表格，绘出散点图； 2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5、利用选取的拟合函数进行预测； 6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。 题型一 指数函数模型的应用 【例1】（2023·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·湖南长沙·高一明德中学校考阶段练习）我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据： A．2024年 B．2023年 C．2026年 D．2025年 【变式1-2】（2023·广东茂名·高一校联考阶段练习）日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ） A．250 B．375 C．500 D．1000 【变式1-3】（2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） （1）塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ （2）为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 题型二 对数函数模型的应用 【例2】（2023·山东·高一聊城一中校联考阶段练习）今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为，夏诺多吉高程数据为．已知大气压强p（单位：）随高度h（单位：m）的变化满足关系式是海平面大气压强，，记夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为，狮子王山峰峰顶的大气压强为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·上海·高一校考期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（ ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【变式2-2】（2023·广东佛山·高一统考期中）青少年