第02讲：二次函数（必刷10大考题+10大题型）-2023-2024学年九年级数学《考点·题型·难点》期末高效复习（人教版）

第02讲：二次函数 【考点归纳】 考点一：二次函数的定义 考点二：二次函数的图像和性质 考点三：二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 考点四：二次函数图像和系数的关系 考点五：二次函数的最值问题 考点六：二次函数与一元二次方程 考点七：二次函数与不等式 考点八：二次函数与实际问题 考点九：二次函数的面积问题与四边形问题 考点十：二次函数的周长、角度和三角形问题 【知识归纳】 考点一：二次函数的概念 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 考点二：二次函数的图像和性质 .解析式 （1）三种解析式： ①一般式：y=ax2+bx+c; ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式. .二次函数的图象和性质 图象 开口 向上 向下 对称轴 x＝ 顶点坐标 增减性 当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小. 当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大. 最值 x=，y最小＝. x=，y最大＝. .系数a、b、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. a、 b 决定对称轴（x=-b/2a）的位置 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 考点三：用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. 考点四：二次函数的平移 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分） 考点五：二次函数，不等式，二元一次方程的关系 1：二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＜0，无实根 2：二次函数与不等式 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. 考点六：直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 【题型归纳】 题型一：二次函数的定义 1．（2022上·安徽马鞍山·九年级校考期中）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2023上·安徽黄山·九年级统考期中）若是二次函数，则的值是（    ） A．或2 B．4 C．2 D． 3．（2023上·山东济南·九年级统考期末）若函数是二次函数，则常数m