（讲义）第6章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

类型1　导数的几何意义及其应用 阐述：从近几年高考的考查情况来看，以导数计算为考查指向的考题更多的是以切线的形式来考查的，强调导数几何意义的同时还考查了导数的运算及方程、不等式等．特别是全国卷，几乎每年都考查函数图像的切线问题，在解答题中强调导数运算下的方程思想，对逻辑推理及数学运算等核心素养的要求较高． 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)， ① 又y1＝f(x1)， ② 由①②求出x1，y1的值， 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 【例1】　(2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)公共点的坐标． [解]　记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1)，f′(x0)＝3x－2x0＋a， ∴切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)． 又l过坐标原点，则2x－x－1＝0，即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0，解得x0＝1， ∴切线l的方程为y＝(1＋a)x． 令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x， 则x3－x2－x＋1＝0， 解得x＝1或x＝－1， ∴曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)． 类型2　利用导数判断函数的单调性 阐述：从高考的考查情况来看，利用导数研究函数的单调性是高考命题的热点，它能充分考查数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想及转化与化归思想，因此函数的单调性是命题专家最为青睐的内容之一，也是导数最重要的应用之一．对函数单调性的探讨，常常涉及研究一元二次不等式，特别是含参一元二次不等式．总的来说，该部分内容对数学运算、直观想象、逻辑推理等素养要求较高． 【例2】　(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1． 令g(x)＝f′(x)＝ex＋2x－1(x∈R)， ∴g′(x)＝ex＋2>0恒成立，∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 又∵g(0)＝0，即f ′(0)＝0， ∴当x∈(－∞，0)时，f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0． 综上所述，当a＝1时，f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f (x)≥x3＋1等价于e－x≤1． 设函数g(x)＝e－x(x≥0)，则 g′(x)＝－e－x ＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－x(x－2a－1)(x－2)e－x． (ⅰ)若2a＋1≤0，即a≤－，则当x∈(0，2)时，g′(x)>0．所以g(x)在(0，2)上单调递增，而g(0)＝1，故当x∈(0，2)时，g(x)>1，不合题意． (ⅱ)若0<2a＋1<2，即－<a<，则当x∈(0，2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)<0；当x∈(2a＋1，2)时，g′(x)>0．所以g(x)在(0，2a＋1)，(2，＋∞)上单调递减，在(2a＋1，2)上单调递增．由于g(0)＝1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)＝(7－4a)e－2≤1，即a≥． 所以当≤a<时，g(x)≤1． (ⅲ)若2a＋1≥2，即a≥，则g(x)≤e－x． 由于0∈，故由(ⅱ)可得e－x≤1． 故当a≥时，g(x)≤1． 综上，a的取值范围是． 类型3　利用导数研究函数的极值 阐述：极值决定了函数的形态，因此对于极值的研究往往着眼于方程(零点)问题；最值也影响函数的形态，但更多聚焦的是边界问题，因而更多与不等式恒成立有关．对极值、最值问题的研究是高考考查的热点，也是难点，涉及函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，通过对函数极值与最值的研究，充分考查逻辑推理、数学运算等核心素养． 【例3】　(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf (x)的极值点． (1)求a； (2)设函数g(x)＝，证明：g(x)＜1． [解]　(1)由题意得y＝xf (x)＝xln(a－x)， 则y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′． 因为x＝0是函数y＝xf (x)的极值点， 所以y′|x＝0＝ln a＝0，所以a＝1