（讲义）第6章 6.3 利用导数解决实际问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

6.3　利用导数解决实际问题 1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点) 2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点) 1．通过导数的实际应用的学习，培养数学建模素养． 2．通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养． “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？ 知识点　用导数解决最优化问题的基本思路 解决最优化问题的注意点 利用导数求解最优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，解题中要特别注意以下几点： (1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式； (2)确定函数解析式中自变量的取值范围； (3)所得的结果要符合问题的实际意义． 1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8　　　B．　　　C．－1　　　D．－8 C　[原油温度的瞬时变化率为f ′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1．] 2．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　) A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m C　[设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝．所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2．S′＝2x－， 令S′＝0，得x＝8， 因此h＝＝4(m)．] 类型1　面积、体积的最值问题 【例1】　(对接教材)请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点E，F 在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝F B＝x(cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm． 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30． (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 令V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20． 当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0． 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时＝，所以包装盒的容积最大时，x＝20，此时，包装盒的高与底面边长的比值为． 1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域； (2)如果函数f (x)在给定区间内只有一个极值点或函数f (x)在开区间上只有一个点使f ′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较． [跟进训练] 1．将一张2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为x m，容积为y m3． (1)写出y关于x的函数关系式； (2)x取何值时，水箱的容积最大． [解]　(1)由水箱的高为x m， 得水箱底面的宽为(2－2x) m，长为＝(3－x) m． 故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)． (2)由y′＝6x2－16x＋6＝0， 解得x＝(舍去)或x＝． 因为y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)在内单调递增，在内单调递减， 所以当x的值为时，水箱的容积最大． 类型2　用料最省、成本(费用)最低问题 【例2】　位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短． [解]　设CD＝x km，则CE＝(3－x)km． 则所需电线总长 l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)， 从而l′＝－． 令l′＝0，即－＝0， 解得x＝1.2或x＝－6(舍去)． 因为在[0，3]上使l′＝0的