（讲义）第6章 6.2 6.2.2 第1课时 函数的导数与极值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 1．理解极值、极值点的概念，了解函数在某点处取得极值的条件．(易混点) 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．(重点) 3．能利用导数解决与函数极值相关的综合问题．(难点) 1．通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养． 2．利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养． 在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；同样，某个谷底，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质． “极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫作最大或极大． 知识点1　函数的极值 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)f (x)<f (x0)，则称x0为函数f (x)的一个极大值点，且f (x)在x0处取极大值； (2)f (x)>f (x0)，则称x0为函数f (x)的一个极小值点，且f (x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 1．极大值一定比极小值大吗？ [提示]　不一定．极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系． 1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图像如图所示，则函数f (x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 C　[设y＝f ′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．] 知识点2　函数的导数与极值 一般地，设函数f (x)在x0处可导，且f ′(x0)＝0． (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f ′(x)<0，那么此时x0是f (x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f ′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f ′(x)>0，那么此时x0是f (x)的极小值点． (3)如果f ′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f (x)的极值点． 2．“f ′(x0)＝0”是“x0是y＝f (x)的极值点”的什么条件？ [提示]　“f ′(x0)＝0”是“x0是y＝f (x)的极值点”的必要不充分条件．如f (x)＝x3，由f ′(x)＝0得x＝0，但0不是f (x)＝x3的极值点． 2．若可导函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f ′(1)＝________，1是函数f (x)的________值点． 0　极大　[由题意可知，当x＜1时，f ′(x)＞0，当x＞1时，f ′(x)＜0，∴f ′(1)＝0，1是函数f (x)的极大值点．] 类型1　求函数的极值或极值点 【例1】　求下列函数的极值． (1)f (x)＝2x3＋3x2－12x＋1； (2)f (x)＝x2－2ln x． [解]　(1)函数f (x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R， f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)， 令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ 极大值21 ↘ 极小值－6 ↗ 所以当x＝－2时，f (x)取极大值21； 当x＝1时，f (x)取极小值－6． (2)函数f (x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝2x－＝， 令f ′(x)＝0， 得x1＝1，x2＝－1(舍去)． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f (x) ↘ 极小值1 ↗ 因此当x＝1时，f (x)有极小值1，无极大值． 求可导函数f (x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x)． (2)求方程f ′(x)＝0的根． (3)利用f ′(x)与f (x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f (x)在点(0，