（讲义）第6章 6.2 6.2.2 第2课时 函数最值的求法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

第2课时　函数最值的求法 1．理解函数最值的概念，了解函数极值与最值的区别与联系．(易混点) 2．会用导数求函数在闭区间上的最值．(重点) 3．能利用导数解决与函数最值相关的综合问题．(难点) 1．通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养． 2．利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养． 如图，在闭区间[a，b]上的函数y＝f (x)的图像是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值． (1)f (x)的最大值和最小值分别是多少？ (2)你能指出最值与极值的关系吗？ 知识点　函数的最值 (1)一般地，如果函数y＝f (x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点； (2)如果函数y＝f (x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f (x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点． 1．在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f (x)有极值一定有最值，反之成立吗？ 提示：反之不成立，在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f (x)有极值一定有最值，但有最值不一定有极值． 2．函数的极值与最值有什么区别？ 提示：①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念．②函数极值只能在区间内部取得，函数最值可能在区间端点取得． 拓展：求函数的最值时，应注意以下两点： (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念． (2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)． 1．函数f (x)＝在区间[2，4]上的最小值为(　　) A．0　　　B．　　　C．　　　D． C　[f ′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f ′(x)＜0，即函数f (x)在区间[2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f (x)有最小值．] 2．已知函数f (x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2，2])，f (x)的最小值为1，则m＝________． 1　[f ′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2，2]． 令f ′(x)＝0，得x＝0，或x＝2， 当x∈(－2，0)时，f ′(x)＜0， 当x∈(0，2)时，f ′(x)＞0， ∴当x＝0时，f (x)有极小值，也是最小值． ∴f (0)＝m＝1，∴m＝1．] 类型1　求函数的最值 　不含参数的函数最值 【例1】　(对接教材)求下列各函数的最值． (1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]； (2)f (x)＝sin 2x－x，x∈． [解]　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1． 当x变化时，f ′(x)，f (x)变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2 f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) －1 ↗ 11 ↘ －1 ↗ 11 从表中可以看出，当x＝－2或x＝1时，函数f (x)取得最小值－1． 当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11． (2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝， 又∵x∈，∴2x∈[－π，π]． ∴2x＝±，∴x＝±． ∴函数f (x)在上的两个极值分别为 f ＝－，f ＝－＋． 又f ＝－，f ＝． 比较以上函数值可得f (x)max＝，f (x)min＝－． 　含参数的函数最值 【例2】　a为常数，求函数f (x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值． [解]　f ′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)． 若a≤0，则f ′(x)≤0，函数f (x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f (0)＝0． 若a＞0，则令f ′(x)＝0，解得x＝±． ∵x∈[0，1]，则只考虑x＝的情况． (1)若0＜＜1，即0＜a＜1， 则当x＝时，f (x)有最大值f ()＝2a．(如下表所示) x 0 (0，) (，1) 1 f ′(x) ＋ 0 － f (x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1 (2)若≥1，即a≥1时，则 当0≤x≤1时，f ′(x)≥0，函数f (x)在[0，1]上单调递增，当x＝1时，f (x)有最大值f (1)＝3a－1． 综上可知，当a≤0，x＝0时，f (x)有最大值0； 当0＜a＜1，x＝时，f (x)有最大值