（讲义）第6章 6.2 6.2.1 导数与函数的单调性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

6.2　利用导数研究函数的性质 6.2.1　导数与函数的单调性 1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 3．会用导数求函数的单调区间，能根据函数的单调性求参数．(重点、难点) 1．通过利用导数判断函数单调性的学习，提升数学抽象素养． 2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养． 如果函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，即x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，从而有＞0，即＞0．这表明，函数的平均变化率与其单调性密切相关．进一步猜想，函数的瞬时变化率(即导数)与其单调性也密切相关．导数与函数的单调性有什么联系？ 知识点1　导数与函数的单调性的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的符号之间具有如下关系： 定义 示意图 增函数 如果在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数． 减函数 如果在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数． 1．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ [提示]　f(x)是常函数． 2．在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？ [提示]　充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0． 1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则(　　) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 B　[由图像可知，函数f (x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f ′(x)<0，故f ′(3)<0．] 知识点2　利用导数求函数的单调区间 在利用导数讨论函数的单调性时，先要确定函数的定义域，然后在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性． 求函数的单调区间，就是解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0，不等式的解集就是所求的单调区间． (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．(2)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点(例如y＝|x|在x＝0处不可导，此处若无特殊说明，函数一般都是连续可导的)．(3)当不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f (x)的单调区间．(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响． 2．若定义域为R的函数f (x)的导数f ′(x)＝2x(x－1)，则f (x)在区间________内单调递增，在区间________内单调递减． (1，＋∞)　(－∞，1)　[由f ′(x)>0得x>1，由f ′(x)<0得x<1，故f (x)在区间(1，＋∞)内单调递增，在区间(－∞，1)内单调递减．] 类型1　函数与导函数图像间的关系 【例1】　(1)函数y＝f (x)的图像如图所示，给出以下说法： ①函数y＝f (x)的定义域是[－1，5]； ②函数y＝f (x)的值域是(－∞，0]∪[2，4]； ③函数y＝f (x)在定义域内是增函数； ④函数y＝f (x)在定义域内的导数f ′(x)>0． 其中正确的是(　　) A．①②　　 B．①③ C．②③　　 D．②④ (2)设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图像如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图像可能为(　　) A　　　　　　B C　　　　　　D (1)A　(2)D　[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故①②正确，故选A． (2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，故选D．] 原函数与导函数关系的判定方法 (1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像． (2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢． [跟进训练] 1．若函数y＝f (x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　D A　[因为y＝f (x)的导函数在区间[a，