（讲义）第6章 6.1 6.1.3 基本初等函数的导数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

6.1.3　基本初等函数的导数 1．理解导函数的概念．(难点) 2．能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点) 3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点) 1．通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养． 2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养． 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x及y＝4x的图像，并根据导数定义，求它们的导数． (1)从图像上看，它们的导数分别表示什么？ (2)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？ 知识点1　导数的概念 一般地，如果函数y＝f (x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f (x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f ′(x)．于是，在f (x)的定义域内，f ′(x)是一个函数，称其为函数y＝f (x)的导函数．记作f ′(x)(或y′，y′x)，即f ′(x)＝y′＝y′x＝ ．导函数通常也简称为导数． 对于函数f (x)，如何求f ′(1)、f ′(x)？f ′(x)与f ′(1)有何关系？ 提示：f ′(1)＝ ． f ′(x)＝ ． f ′(1)可以认为把x＝1代入导数f ′(x)得到的值． 1．函数y＝在x＝2处的导数为__________． －1　[法一：∵Δy＝－＝－1＝－，∴＝－， ∴y′＝ ＝－ ＝－1． 法二：∵Δy＝－＝－， ∴＝－， ∴y′＝ ＝－ ＝－． ∴y′＝－＝－1．] 知识点2　常函数与幂函数的导数 原函数 导数 f (x)＝C (C为常数) f ′(x)＝C′＝0 f (x)＝x f ′(x)＝x′＝1 f (x)＝x2 f ′(x)＝(x2)′＝2x f (x)＝x3 f ′(x)＝(x3)′＝3x2 f (x)＝ f ′(x)＝＝－ f (x)＝ f ′(x)＝()′＝ 2．若f (x)＝，则f ′(1)＝________． 　[∵f (x)＝＝x，∴f ′(x)＝x，∴f ′(1)＝．] 知识点3　基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)＝C(C为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα f ′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f (x)＝ax(a＞0且a≠1) f ′(x)＝axln a f (x)＝ex f ′(x)＝ex f (x)＝logax(a＞0且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ (1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数． (2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用y＝xα的导数公式解决． (3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化． (4)各类考试中最常见的是求幂函数和以自然常数为底数的特殊指数函数y＝ex与对数函数y＝ln x的导数． 3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个常数． (　　) (2)若y＝，则y′＝×2＝1． (　　) (3)若f ′(x)＝sin x，则f (x)＝cos x． (　　) (4)若y＝，则y′＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x． [解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11． (2)y′＝＝(x－4)′＝－4x－5＝－． (3)y′＝()′＝(x)′＝x． (4)y′＝(3x)′＝3xln 3． (5)y′＝(log5x)′＝． 求简单函数的导函数的基本方法 1．用导数的定义求导，但运算比较繁杂． 2．用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [跟进训练] 1．若f (x)＝x3，g(x)＝log3x， 则f ′(x)－g′(x)＝__________． 3x2－　[∵f ′(x)＝3x2， g′(x)＝， ∴f ′(x)－g′(x)＝3x2－．] 类型2　利用公式求函数在某点处的导数 【例2】　质点的运动方程是s＝sin t． (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． [解]　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos ＝． 即质点在t＝时的速度为． (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－