（讲义）第6章 6.1 6.1.2 导数及其几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

6.1.2　导数及其几何意义 1．理解瞬时变化率、导数的概念，会用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 2．理解导数的几何意义．(重点、难点) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(易混点) 1．借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养． 2．通过导数的几何意义，提升直观想象、数学运算的素养． 如图，当点Pn(xn，f (xn))(n＝1，2，3，4)，沿着曲线f (x)趋近于点P(x0，f (x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ (1)　　　　　　　　　　　(2) (3)　　　　　　　　　　　(4) 知识点1　瞬时变化率与导数 (1)瞬时变化率 一般地，设函数y＝f (x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，→k或 ＝k． (2)导数 ①f (x)在x0处的导数记作f ′(x0)； ②f ′(x0)＝ ． 拓展：导数定义的理解 (1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在． (2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但不能为0．当Δx>0(或Δx<0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0． (3)函数在一点处的导数就是在该点附近的因变量的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量． 1．质点M的运动规律为s＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________． 8　[Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝4(1＋Δt)2－4＝4(Δt)2＋8(Δt)， ∴＝4(Δt)＋8． ∴ ＝8．] 知识点2　导数的几何意义 (1)割线的斜率 已知y＝f (x)图像上两点A(x0，f (x0))，B(x0＋Δx，f (x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率． (2)导数的几何意义 曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数f ′(x0)的几何意义为曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率． (3)曲线的切线方程 曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程是y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 2．已知曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f ′(1)＝________． 2　[由导数的几何意义可知f ′(1)＝2．] 类型1　求函数在某点处的导数 【例1】　(1)求函数f (x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． [解]　(1)∵Δy＝f (－1＋Δx)－f (－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2， ∴＝＝3－Δx， ∴f ′(－1)＝ ＝ (3－Δx)＝3． (2)∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2， ∴＝6＋3Δx， ∴f ′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6． 求函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数的步骤 [跟进训练] 1．求函数f (x)＝x－在x＝1处的导数． [解]　∵Δy＝(1＋Δx)－－ ＝Δx＋1－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴f ′(1)＝ ＝ ＝2． 类型2　导数值的大小与函数图像变化间的关系 【例2】　(1)已知y＝f (x)的图像如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　) A．f ′(xA)＞f ′(xB) B．f ′(xA)＜f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定 (2)某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y＝－x2＋4x来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况． (1)B　[由导数的几何意义知，f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f ′(xA)＜f ′(xB)．] (2)[解]　因为＝ ＝ ＝－2x＋4－Δx， 所以y′＝ ＝－2x＋4． 由于y′＝－2x＋4在区间上是减函数，且0≤y′≤1，故该段斜坡的坡度最开始很接近45°，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在x达到2时坡度接近0°． 导数几何意义理解中的两个关键点 关键点一：y＝f (x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f ′(x0)＞0；k＜0⇔f ′(x0)＜0；k＝0⇔f ′(x0)＝0． 关键点二：|f ′(x0)|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f ′(x0)|越小⇔在x0处瞬时变化越慢． [跟进训练] 2．已知函数y＝f (x)的图像是下列四个选项中的图像之一，且其导函数y＝f ′(x)的图像如图所示，则该函