（讲义）第5章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

类型1　求数列的通项公式 阐述：求数列的通项公式是高考重点考查的内容之一，当已知数列为等差或等比数列时，只需利用条件求出基本量(首项a1及公差d或公比q)，即可写出通项公式；由数列的递推公式求通项，通常需要对数列的递推关系进行化归，转化为等差或等比数列问题求通项．常见的类型有： (1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an． (2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an． (3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an． (4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an． (5)若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解． 【例1】　已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋＝2Sn，求an． [解]　将an＋＝2Sn变形为a＋1＝2Snan． 将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得S－S＝1． 由已知可求得S1＝a1＝1． ∴数列{S}是等差数列，公差为1，首项为1． ∴S＝1＋(n－1)·1＝n． ∵an>0，∴Sn>0． ∴Sn＝． ∴n≥2时，an＝－． 而n＝1时，a1＝1也适合上式． ∴数列{an}的通项公式为an＝－，n∈N＋． 【例2】　(1)在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2(n＋1)2　　 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1) A　[因为＝＋，所以－＝，数列{}是等差数列． 又a1＝8，所以＝2， 所以＝2＋(n－1)·＝n＋， 所以an＝2(n＋1)2．故选A．] (2)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为an＝__________． －　[∵数列{an}满足an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N＋)，即an－an－1＝3n，∴a2－a1＝32，a3－a2＝33，a4－a3＝34，…，an－an－1＝3n，∴an－a1＝32＋33＋34＋…＋3n． 又a1＝1， ∴an＝1＋32＋33＋34＋…＋3n＝1＋＝－． 故答案为－．] 类型2　数列求和 阐述：数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解． 一般常见的求和方法有： (1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)； (2)分组求和法； (3)错位相减法； (4)倒序相加法； (5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； (6)并项求和法．一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 【例3】　(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜． [解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1． 因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝， 故an＝，bn＝． (2)证明：由(1)知Sn＝＝，Tn＝＋＋＋…＋　①， Tn＝＋＋＋…＋＋　②， ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－， 即Tn＝－＝－， 整理得Tn＝－， 则2Tn－Sn＝2－＝－＜0，故Tn＜． 【例4】　设a，b，c，d∈R，定义＝ad－bc，设数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，且＝0，＝0． (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，证明：＜＋＋＋…＋＜2． [解]　(1)根据已知得4an＋1＝3an－bn＋4， ① 4bn＋1＝3bn－an－4． ② 由①＋②得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，整理得＝， 所以数列{an＋bn}是以a1＋b1＝1为首项， 为公比的等比数列．所以an＋bn＝． ③ 由①－②得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即(an＋1－bn＋1)－(an－bn)＝2， 所以数列{an－bn}是以a1－b1＝1为首项，2为公差的等差数列． 所以an－bn＝2n－1． ④ ③＋④得2an＝(2n－1)＋，即an＝＋， 根据③－④得到bn＝－， 所以an＝＋，bn＝－． (2)证明：因为数列{an}的前n项和为Sn， 所以Sn＝(1＋3＋…＋2n－1)＋＝＋＝＋1－， 则Sn＋an＝＋1－＋＋＝， 所以＝＜＝2， ＝＞ ＝2，