（讲义）第5章 5.5 数学归纳法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.5　数学归纳法 1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点) 2．掌握数学归纳法的步骤．(难点) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点) 1．通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养． 2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养． 一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理． 知识点　数学归纳法的定义 一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n＝n0时，命题成立； (2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立． 数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？ [提示]　不一定．n0的取值视具体情况而定． 拓展：数学归纳法两个步骤的联系： 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． (　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1． (　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 C　[三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验n＝3．] 类型1　用数学归纳法证明恒等式 【例1】　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2， 右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)， 那么，当n＝k＋1时， 左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)· ＝2k·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边． ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原等式均成立． 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“看项”，即弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项． [跟进训练] 1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________． 2(2k＋1)　[令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)， f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．] 2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝12， 右边＝×1×(4×12－1)＝1， 左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)， 则当n＝k＋1时， 12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 ＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2 ＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2 ＝(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)] ＝(2k＋1)(2k2＋5k＋3) ＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋3) ＝(k＋1)(4k2＋8k＋3) ＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]， 即当n＝k＋1时，等式成立． 由(1)(2)知，对一切n∈N*等式成立． 类型2　用数学归纳法证明不等式 【例2】　证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． [证明]　①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2． 则当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋ <2＋＝ <＝＝2． ∴当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立． 1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证