（讲义）第5章 5.3 5.3.2 等比数列的前n项和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.3.2　等比数列的前n项和 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．掌握等比数列前n项和的性质，能灵活运用等比数列前n项和的性质解题．(易混点) 3．会用错位相减法求数列的和．(难点) 1．通过等比数列前n项和公式的学习，培养逻辑推理、数学运算的素养． 2．借助错位相减法求数列的和的方法，提升数学运算素养． 计算机已经成为现代生活不可缺少的一部分，而且计算机也在不断更新换代，同时，计算机病毒也在不断升级．某种计算机病毒用两分钟就将病毒由一台计算机传给两台，这两台又用两分钟各传给未感染的另外两台计算机，如此继续下去．如果病毒按照上述方式共传播了30分钟，那么受该病毒感染的计算机共有多少台？ 知识点1　等比数列的前n项和公式 1．等比数列求和应注意什么？ [提示]　公比q是否等于1． (1)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便． (2)对于等比数列的a1，an，n，q，Sn五个相关量，知道其中任意三个量，都可以利用方程求出其余两个量． 1．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为(　　) A．63　　　 B．64 C．127　　　 D．128 C　[由题意可知，a5＝a1q4，即q4＝＝16， 又q>0，∴q＝2． ∴S7＝＝127，故选C．] 知识点2　等比数列前n项和公式的函数特性 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，则上式可写成Sn＝－Aqn＋A的形式．则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝－Aqx＋A图像上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x图像上的一群孤立的点． 2．如果数列{an}的前n项和为Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1，n∈N＋)，那么这个数列一定是等比数列吗？ [提示]　一定．理由如下：由于Sn＝－Aqn＋A，则当n＝1时，S1＝a1＝A(1－q)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－Aqn＋A)－(－Aqn－1＋A)＝Aqn－1(1－q)，而当n＝1时也符合该式．故数列{an}的通项公式为an＝Aqn－1(1－q)(n∈N＋)，并且＝＝q(常数)，则数列{an}是等比数列，其中首项为a1＝A(1－q)，公比为q． 由上可知，“数列{an}是等比数列⇔Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1，n∈N＋)”可作为判定非常数列{an}是等比数列的一个依据． 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图像上，则m＝__________． －3　[∵点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图像上， ∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m． 由Sn＝－Aqn＋A，比较可得m＝－3．] 知识点3　等比数列前n项和的性质 设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质． (1)当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝． (2)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm． (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q． (4)当q≠－1时，连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(公比为qm，m≥2)． (1)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列； (2)当q≠－1，或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列． 由(1)(2)可知，当连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)不为零时，性质(4)才成立． 3．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比q＝__________． 2　[法一：设S偶与S奇分别是该等比数列偶数项的和与奇数项的和，则S偶＝q·S奇，∴q＝＝2． 法二：设该等比数列的项数为2n，易得该等比数列的奇数项和偶数项也分别成等比数列，且公比均为q2， ∴＝85①，＝170　②， ∴②÷①得，q＝2． 类型1　等比数列前n项和公式基本量的运算 【例1】　(对接教材)在等比数列{an}中． (1)若q＝2，S4＝1，求S8； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5． [解]　(1)法一：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1