（讲义）第5章 5.3 5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 1．理解等比数列的定义．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用公式进行相关计算．(重点、难点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的素养． 2．借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算的素养． 《庄子·天下》中提到“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之捶”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“捶”的长度依次是，，，，…．你发现每个数之间成怎样的递推关系？还是等差数列吗？ 知识点1　等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． 1．在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？ [提示]　一定不能为0． 拓展：对等比数列的定义的理解 (1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项． (2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比． (3)判断一个数列是否为等比数列，主要是利用等比数列的定义，即验证其通项是否满足＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数，n≥2)． (4)对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列，各项都不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列．因此，常数列必是等差数列，却不一定是等比数列． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若an＋1＝qan，n∈N*且q≠0，则{an}是等比数列． (　　) (2)常数列一定是等比数列． (　　) (3)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　等比数列的通项公式及其推广 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N*． 2．等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？ [提示]　不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数． 2．(1)已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　) A．an＝2·3n＋1　　　 B．an＝3·2n＋1 C．an＝2·3n－1 D．an＝3·2n－1 (2)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________． (1)C　(2)　[(1)由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1． (2)法一：∵a2＝a1q＝2， ① a5＝a1q4＝， ② ∴②÷①得：q3＝，∴q＝． 法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝⇒q＝．] 知识点3　等比数列的单调性 等比数列{an}的首项为a1，公比为q． (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列； (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列； (3)当q＝1时，数列为常数列； (4)当q<0时，数列为摆动数列． 3．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，则数列{an}的通项公式为__________． an＝2n　[设数列{an}的公比为q． ∵a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1， ∴，∴或． 又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，∴an＝2n．] 类型1　等比数列基本量的求解 【例1】　在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n； (3)a3＝2，a2＋a4＝，求an． [解]　(1)法一：∵ ∴ 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2． 法二：∵a7＝a4q3，∴q3＝＝＝4， ∴q＝． ∴an＝a4qn－4＝2×4＝2×2＝2． (2)法一：∵　 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1， ∴32×＝1，即26－n＝20， ∴n＝6． 法二：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝． 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32．由an＝a1qn－1＝1，知n＝6． (3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0． a2＝＝，a4＝a3q＝2q， ∴＋2q＝，解得q1＝，q2＝3． 当q＝时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n． 当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3． 综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3． a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的