（讲义）第5章 5.3 5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

第2课时　等比数列的性质 1．理解等比中项的概念．(易错点) 2．掌握等比数列的性质及其应用．(重点) 3．体会等比数列与指数函数的关系．(难点、易错点) 1．通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养． 2．灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题，提升数学运算素养． 在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．在等比数列中有无类似的性质？ 知识点1　等比中项 定义 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项 关系式 G2＝xy 结论 在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项 G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？ [提示]　不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立． 拓展：(1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项．由此可得等比数列的另一种判定方法——等比中项法，即判断＝(n≥2)是否成立． (2)“a，G，b是等比数列”与“G2＝ab”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0，0，1不是等比数列．因此“a，G，b是等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件． (3)等差中项与等比中项的区别： ①任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； ②任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数． 1．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝(　　) A．6　　　B．－6　　　C．±6　　　D．±12 C　[依题意知2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)， 解得a＝，b＝±4，∴ab＝±6．] 知识点2　等比数列的性质 在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq． (1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 拓展：(1)“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． (2)两个等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列． 2．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________． 25　[∵{an}是等比数列， ∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12， ∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25．] 类型1　等比中项的应用 【例1】　(1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9　　　 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． (1)B　[(1)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号． 所以ac＝b2＝9．] (2)[证明]　b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±．这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)． [跟进训练] 1．(1)＋1与－1的等比中项是________． (2)设x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，求＋的值． (1)±1　[设x为＋1与－1的等比中项，则x2＝(＋1)(－1)＝1，所以x＝±1．] (2)[解]　由已知 由②得y＝．代入①消去y， 得16＝15xz，所以＝， 即＋＝． 类型2　等比数列性质的应用 【例2】　(1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5