（讲义）第5章 5.2 5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式，会用通项公式解决问题．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) 1．借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养． 2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养． 考察下面的问题： 第23届到第31届奥运会举行的年份依次为1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016．如果1年期储蓄的月利率为1.65‰，那么将10 000元分别存1个月、2个月、3个月……12个月，所得的本利和依次为10 000＋16.5，10 000＋16.5×2，…，10 000＋16.5×12．上面这两个数列有什么共同的特点？ 知识点1　等差数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． 拓展：等差数列定义的理解 (1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不是等差数列． 1．下列数列中不是等差数列的为(　　) A．6，6，6，6，6　　 B．－2，－1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10 D　[A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0； B中给出的数列是等差数列，公差为1； C中给出的数列是等差数列，公差为3； D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．] 知识点2　等差数列的通项公式及其推广 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)． 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？ [提示]　d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数． 拓展：等差数列与一次函数的异同点 等差数列 一次函数 不同点 解析式 an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋ f(x)＝kx＋b(k≠0)，x∈R 公差、斜率 公差d＝，n≠m 斜率k＝，x1≠x2 定义域 N＋ R 图像 位于同一直线上的一系列孤立的点 一条直线 相同点 等差数列的通项公式(d≠0)与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式 2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________． 6－2n　[∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n．] 知识点3　等差数列的单调性 等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列，不增也不减． 3．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图像上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列　　 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 B　[等差数列{an}的图像所在直线的斜率k＝＝－2<0，故数列{an}是递减数列．] 类型1　等差数列的判定 　通项确定的判定 【例1】　已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差数列： (1)an＝4－2n； (2)an＝ (3)an＝n2＋n． [解]　(1)∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n． ∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2． 故数列{an}是等差数列． (2)由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数．但a2－a1＝0，a3－a2＝1，即a2－a1≠a3－a2，因此数列{an}不是等差数列． (3)∵an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列． 　已知递推关系的判定 【例2】　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n＞1)，记bn＝．求证：数列{bn}是等差数列． [证明]　因为bn＋1＝＝＝， 所以bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*)．又b1＝＝， 所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 等差数列的判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．但证明一个数列是等差数列，要用定义法． [跟进训练] 1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列(　　) A．是公差为4的等差数列 B