（讲义）第5章 5.2 5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

第2课时　等差数列的性质 1．掌握等差中项的概念，会求等差中项．(重点) 2．能推出等差数列的常用性质，并能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(难点) 1．借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养． 2．通过等差数列性质的学习，培养逻辑推理、数学运算的素养． 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为多少？ 知识点1　等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝． 在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项． A为x与y的等差中项是A＝的充要条件． 1．数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，则数列{an}是等差数列吗？为什么？ [提示]　这个数列一定是等差数列，理由如下： 由an＋1＝(an＋an＋2)(n∈N＋)，可知an＋1－an＝an＋2－an＋1对任意的正整数n都成立，所以a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝…＝an＋1－an＝an＋2－an＋1＝…，这就是说，数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，所以这个数列是等差数列． 由此我们可得到一个重要的结论：{an}为等差数列⇔an＋1＝，n∈N＋．这是判断一个数列为等差数列的另一个方法． 1.17＋，13－的等差中项为________． 15　[设A为其等差中项，则A＝＝＝15．] 知识点2　等差数列的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq． ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． 2．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？ [提示]　令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立． 拓展：(1)子数列的性质 从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (2)由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2．(1)在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝(　　) A．－1　　　　B．9　　　　C．1　　　　D．6 B　[由题意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故选B．] (2)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12　　B．16　　C．20　　D．24 B　[在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16．] 类型1　等差中项及其应用 【例1】　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列； (2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值． [解]　(1)∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项． ∴b＝＝3． 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1． 又c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5． ∴该数列为－1，1，3，5，7． (2)由x1＝3，得2p＋q＝3， ① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1， ② 将②代入①，得p＝1． 所以p＝q＝1． 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)． [跟进训练] 1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[因为a＋b＝＋ ＝ ＝＝2， 所以a，b的等差中项为．] 类型2　等差数列性质的应用 【例2】　在公差为d的等差数列{an}中． (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，