（讲义）第5章 5.1 5.1.1 数列的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 1．了解数列的概念及其表示方法．(重点) 2．掌握数列的通项公式及应用．(难点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点) 4．了解数列与函数的关系．(难点) 1．通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养． 2．通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理的数学素养． 3．通过数列与函数关系的学习，提高直观想象、数学运算等核心素养． “微信朋友圈”中的数学 网络上信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百，百传千，千传万，……”我们能否用下面一列数最后加？ 1，10，100，1 000，10 000，… 知识点1　数列的概念及一般形式 1．数列1，2，3与数列2，1，3相同吗？ [提示]　不同，顺序不一样． 数列与集合的区别 数列 集合 各项必须是数 集合中的元素可以是数，也可以是其他形式 数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2表示不同的数列 集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}＝{1，3，2} 同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，… 集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1，…组成的集合只能写为{1} 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)1，7，0，11，－3，…，－1 000不构成数列． (　　) (2){an}与an是一样的，都表示数列． (　　) (3)数列1，2，3，4可表示为{1，2，3，4}． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 2．下列说法正确的是________(填序号)． ①1，1，1，1是有穷数列； ②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列； ③数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列． ①②　[因为1，1，1，1只有4项，所以①正确；②正确；数列1，2，3，4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．] 知识点3　数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的一个通项公式． 2．数列一定有通项公式吗？ [提示]　不一定．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式． (1)已知通项公式an＝f(n)，那么只要依次用1，2，3，…代替公式中的n就可以求出数列的各项． (2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的．例如，数列0，2，0，2，…的通项公式可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋1． 3．(1)(对接教材)已知数列{an}的通项公式为an＝，那么a5＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． (2)数列0，1，2，3，4，…的一个通项公式可以为(　　) A．an＝n－1 B．an＝n C．an＝n＋1 D．an＝n2－1 (1)B　(2)A　[(1)∵an＝，∴a5＝＝，故选B． (2)结合选项可知，an＝n－1，故选A．] 知识点4　数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法 3．数列所对应的图像是连续的吗？ [提示]　不连续． 拓展：(1)解读数列的通项公式 ①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式． ②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． ③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的． (2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4．根据数列的通项公式，分别用列表法和图像法表示下列数列(n≤5且n∈N＋)． (1)an＝(－1)n＋2；(2)bn＝． [解]　用列表法分别给出这两个数列． n 1 2 3 4 5 an＝(－1)n＋2 1 3 1 3 1 bn＝ 2 它们的图像如图(1)(2)． (1)　　　　　　(2) 类型1　数列的概念及分类 【例1】　已知下列数列： ①2 015，2 016，2 017，2 018，2 019，2 020，2 021； ②1，，，…