（讲义）第5章 5.1 5.1.2 数列中的递推-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.1.2　数列中的递推 1．了解递推公式是给出数列的一种方法，理解递推公式的含义．(重点) 2．能够根据递推公式写出数列的前几项，掌握由递推公式求通项公式的方法．(难点) 3．会利用an与Sn的关系求数列的通项公式．(易错点) 1．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助递推公式的应用学习，提升数学运算的素养． 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项． (1)　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4) 那么a2是a1的多少倍？a3是a2的多少倍？a4是a3的多少倍？依此类推an是an－1(n≥2)的多少倍？ 知识点1　数列的递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． 拓展：数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 (1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)用递推公式给出一个数列，必须给出：①“基础”——数列{an}的首项(或前几项)；②递推关系． 1．(1)(对接教材)数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N＋) B．an＝(n∈N＋) C．an＋1＝an(n∈N＋) D．an＋1＝2an(n∈N＋) (2)已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a2＝________． (1)C　(2)3　[(1)由题意可知C选项符合，故选C． (2)因为a1＝－，an＋1＝1－， 所以a2＝1－＝1＋2＝3．] 知识点2　数列的前n项和 (1)概念：一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． (2)Sn与an的关系 an＝ 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________． 3　[a2＝S2－S1＝4－1＝3．] 类型1　由递推关系写出数列的项 【例1】　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2 020＝2，则a2 021＝(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　) A．31　　B．32　　C．61　　D．62 (1)B　(2)A　[(1)由anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)， 得an＋1＝， 又∵a2 020＝2，∴a2 021＝，故选B． (2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6， ∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31，故选A．] 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝． [跟进训练] 1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． [解]　∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝， a5＝＝＝． 故该数列的前5项为1，，，，． 类型2　已知Sn求通项公式an 【例2】　(对接教材)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2． [思路点拨]　应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解，注意检验n＝1时a1是否满足an(n≥2)． [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)] ＝4n－5．(*) 当n＝1时，a1满足(*)式， 故an＝4n－5． (2)当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1．(*) 当n＝1时，a1不满足(*)式， 故an＝ [母题探究] (变条件)若把本例(1)中的Sn换为Sn＝2n2－3n＋1，再求{an}的通项公式． [解]　当n＝1时，a1＝S1＝2－3＋1＝0， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5．(*) 显然n＝1不满足(*)式， 故an＝ 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n