（练习）章末综合测评2 导数及其应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

章末综合测评(二)　导数及其应用 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各式正确的是(　　) A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(cos x)′＝sin x C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－x－6 C　[由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6．] 2．函数f (x)＝ln x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝(　　) A．－1　　B．　　C．　　D．1 B　[对函数求导f ′(x)＝－a，k＝f ′(2)＝－a＝a，所以a＝．] 3．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f (x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2 D　[法一(分类与整合法)：函数f (x)＝a(x－a)2(x－b)＝(x－a)2(ax－ab)，求导得f ′(x)＝2(x－a)(ax－ab)＋a(x－a)2＝a(x－a)(3x－a－2b)， 令f ′(x)＝0，结合a≠0可求得x＝a或x＝． (1)当a>0时， ①若＞a，即b＞a，此时易知函数f (x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a为函数f (x)的极大值点，满足题意； ②若＝a，即b＝a，此时函数f (x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意； ③若<a，即b<a，此时易知函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，所以x＝a为函数f (x)的极小值点，不满足题意． (2)当a<0时， ①若>a，即b>a，此时易知函数f (x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a为函数f (x)的极小值点，不满足题意； ②若＝a，即b＝a，此时函数f (x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意； ③若＜a，即b＜a，此时易知函数f (x)在上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所以x＝a为函数f (x)的极大值点，满足题意． 综上可知：当a>0且b>a时满足题意，当a<0且b<a时也满足题意．据此可知，必有ab>a2成立． 故选D． 法二(特值排除法)：当a＝1，b＝2时，函数f (x)＝(x－1)2(x－2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误． 当a＝－1，b＝－2时，函数f (x)＝－(x＋1)2(x＋2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝－1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝－1，b＝－2可知选项A错误．故选D． 法三(数形结合法)：当a>0时，根据题意作出函数f (x)的大致图像如图1所示，观察可知b>a． 当a<0时，根据题意作出函数f (x)的大致图像如图2所示，观察可知a＞b． 图1　　　　　　图2 综上可知，必有ab＞a2成立．故选D．] 4．函数f (x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　) A．2 B．1 C．0 D．由a确定 C　[f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f (x)在R上单调递增，无极值．故选C．] 5．函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． C　[∵f (x)＝x2－ln x(x>0)，∴f ′(x)＝x－＝， 当f ′(x)<0时，解得0<x<，则函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为．故选C．] 6．已知函数f (x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，f ′(x)为其导函数，当x>0且x≠2时，(x－2)·[2f (x)＋xf ′(x)]<0，若曲线y＝f (x)在点(2，f (2))处的切线的斜率为－10，则f (2)的值为(　　) A．4　　B．6　　C．8　　D．10 D　[①若x>2，则2f (x)＋xf ′(x)<0， ②若0<x<2，2f (x)＋xf ′(x)>0， 令g(x)＝x2f (x)，g′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)＝x[2f (x)＋xf ′(x)]， ∵x>0，∴g(x)在x＝2时取得极值，g′(2)＝4f (2)＋4f ′(2)＝0， ∵f ′(2)＝－10，∴f (2)＝10，故选D．] 7．(2022·河南焦作高二期中)已知曲线C1：f (x)＝xex在x＝0处的切线与曲线C2：g(x)＝(a∈R)在x＝1处的切线平行，令h(x)＝f (x)g(x)，则h(x)在(0，＋∞)上(　　) A．有唯一零点 B．有两个零点 C．没有零点 D．不确定 A　[∵f (x)＝xex，∴