（练习）课时分层作业18 利用导数解决实际问题-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十八)　利用导数解决实际问题 一、选择题 1．某莲藕种植塘每年的固定成本是10 000元，每年最大规模的种植量是40 000斤，每种植一斤莲藕，成本增加0.5元，如果收入函数是R(q)＝－q3＋10 000q2＋q(q是莲藕的质量，单位：斤)，则要使利润最大，每年莲藕的种植量应为(　　) A．10 000斤　　　 B．12 000斤 C．20 000斤 D．20 100斤 D　[设利润为L，则L＝－q3＋10 000q2＋q－10 000－0.5q＝－q3＋10 000q2＋2 010 000q－10 000(0<q≤40 000)， ∴L′＝－q2＋20 000q＋2 010 000＝－(q－20 100)·(q＋100)， ∴函数在(0，20 100)上单调递增，在(20 100，40 000]上单调递减，故当q＝20 100时，利润最大．] 2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　) A．32，16 B．30，15 C．40，20 D．36，18 A　[要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－．令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．] 3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是 R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　) A．100　　　B．150　　　C．200　　　D．300 D　[由题意，得总成本函数为 C(x)＝20 000＋100x， 总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝ 所以P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时， 总利润P(x)最大．] 4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2．则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 D　[设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700． 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)． 此时，L(30)＝23 000． 因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0， 所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．] 5．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为(　　) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．12 cm C　[设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3， 则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)， 所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320， 由V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍)， 因为当0<x<10时，V′(x)>0， 当10<x<24时，V′(x)<0． 所以当x＝10时，V(x)在区间(0，24)内有唯一极大值， 所以容器高x＝10 cm时，容器体积V(x)最大．] 二、填空题 6．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥．当该棱锥的体积取得最大值时，其底面边长为________． 　[设正四棱锥的底面边长为2x，则斜高为＝1－x，所以此正四棱锥的高h＝＝， 所以正四棱锥的体积V＝·4x2·＝， 令f (x)＝x4－2x5，则f ′(x)＝4x3－10x4，令f ′(x)＝4x3－10x4＝2x3(2－5x)＝0，得x＝0或x＝．当x∈时，f ′(x)>0，x∈时，f ′(x)<0，所以函数f (x)在x＝时取得极大值，也是最大值，此时正四棱锥的体积最大，底面边长为．] 7．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大为________． 　[由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2， ∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)． ∴S′＝8－6x2． 令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 当0<x